Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 43

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 168 >> Следующая


5. Линейно эквивалентные совокупности строк. Две совокупности строк Uu ..., ит и »1, ..., Vk называются линейно эквивалентными, если каждая строка первой совокупности есть линейная комбинация строк второй совокупности и каждая строка второй совокупности есть линейная комбинация строк первой.

Предложение 9. Ранги линейно эквивалентных совокупностей строк равны.

Доказательство. Пусть г — ранг второй совокупности. Это значит, что все строки второй совокупности являются линейными комбинациями базиса, состоящего из г строк. Но тогда и строки первой совокупности, будучи линейными комбинациями линейных комбинаций этих г строк, сами являются их линейными комбинациями. Следовательно, ранг первой совокупности не больше г, т. е. ранга второй совокупности. По аналогичной причине ранг второй совокупности не больше ранга первой. Следовательно эти ранги равны.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ)

1ІЗ

6. Ранг матрицы. С данной прямоугольной матрицей связывается множество ее строк и множество ее столбцов. Каждое из них имеет ранг. Замечательно то, что эти ранги равны.

Теорема 10. Ранг множества строк прямоугольной матрицы равен рангу множества ее столбцов.

Доказательство. Пусть

Пусть ранг множества ее строк равен k. Тогда найдется базис из k строк, т. е. такое линейно независимое множество строк, что все остальные строки являются их линейными комбинациями. Для упрощения записи будем считать, что это первые k строк, иначе мы изменили бы нумерацию. Введем в рассмотрение матрицу из этих строк

Столбцы матрицы A являются отрезками столбцов матрицы А.

Выберем базис столбцов матрицы A. Пусть число столбцов, составляющих базис, равно г. Все столбцы матрицы A являются их линейными комбинациями. Ясно, что г ^ k. Пополним выбранные базисные столбцы до полных столбцов матрицы А. Получившиеся столбцы линейно независимы, и, в силу предложения 4, все столбцы матрицы А являются их линейными комбинациями. Таким образом, мы построили базис множества столбцов матрицы А, состоящий из г столбцов, причем г ^ k. Итак, ранг г множества столбцов матрицы А не превосходит ранга k множества ее строк. Но по тем же соображениям ранг k множества строк не превосходит ранга г множества столбцов. Следовательно, эти ранги равны. Их величина называется рангом матрицы.

7. Условие линейной зависимости множества строк квадратной матрицы.

Теорема 11. Для линейной зависимости множества строк квадратной матрицы необходимо и достаточно обращение в нуль ее определителя.

Доказательство. Необходимость. Допустим, что det АфО, где

114 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ [ГЛ. IV

Равенство cm + C2U2 + ... + CnUn = 0, где щ, и2, ки А, равносильно системе линейных уравнений

,., Un-стро-

ена + O2]C2 +

Al2C1 + A22C2 +

+ AnlCn = 0, + An2C„ = О,

OmC1 + a2rtc2 + ... + а„„с„ = О,

которая имеет единственное нулевое решение, ибо det А1 = = det А ФО. Иными словами, если det А Ф 0, то строки А линейно независимы, так что для линейной зависимости необходимо, чтобы det A = O.

Достаточность. Доказательство достаточности проведем методом математической индукции по порядку матрицы А. Для т = 1 утверждение теоремы очевидно, ибо равенство det А = О означает, что А состоит из нулевого элемента. Пусть для матриц порядка т—1 теорема доказана, и в этом предположении докажем ее для матриц порядка т. Без нарушения общности можно считать O11=^O. Обозначим через и\, и2, Un строки матрицы А и введем в рассмотрение строки

^ = "«-^«1=(0' й'п2' •••> «я*)'

По свойству определителей

Oj1
а\г ¦
. аы


а,г .
• Ul п

f
/

«21
а22 .
¦ а2п
_
О
я22 .
• а2п
= ап
A22 ..
• а2п








/
і

ап\
ап2 •
¦ апп

О
<4> •
¦ а'па

ап2 •
¦ апп

Далее, detA = 0, ацфО, следовательно,

122

ал2

и2„ г

= 0.

По ИНДуКТИВНОМу ПреДПОЛОЖеНИЮ, СТрОКИ(A22.....А2га)' * ' *' («п2> • ' '

а^п) линейно зависимы, а тогда линейно зависимы и строки v2, ..., V,,, с теми же коэффициентами. Итак, существуют не равные одновременно нулю коэффициенты с2, ..., Cn такие, что c2v2 + ... + CnVn = 0, и тогда

(-^T1C2+ ... + Cn) Ui + C2U2 + ... +CnUn:

\ НЦ «11 /

= 0.

J3] ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ) 115

anlxl + ••• -\~аппхп — О

равносильно отысканию коэффициентов хх, Xn линейной зависимости столбцов матрицы коэффициентов системы.

8. Ранг матрицы в терминах определителей. Напомним, что если в некоторой матрице выбрать несколько строк и несколько столбцов, то элементы, находящиеся в пересечениях выбранных строк и столбцов, составляют матрицу, называемую субматрицей для исходной. Определители квадратных субматриц носят '-название миноров исходной матрицы.

Теорема 13. Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличных от нуля миноров.

Доказательство. Пусть ранг матрицы равен k. Тогда в любом миноре порядка AT1 и выше (если их можно составить) будут линейно зависимые строки, и все такие миноры равны нулю. Далее, в матрице имеется базисная совокупность из k строк и базисная совокупность из k столбцов. Рассмотрим субматрицу, образованную элементами из этих строк и столбцов. Ее строки линейно независимы, ибо иначе, в силу предложения 4, соответствующие полные строки исходной матрицы были бы линейно зависимы. Следовательно, определитель порядка k так выбранной субматрицы отличен от нуля.
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed