Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 42

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 168 >> Следующая


строк Ui, Uk. Пусть, далее, vu Vn — столбцы матрицы А,

110

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

[ГЛ. IV

a Vu • Vn — их отрезки длины k. Тогда из любой зависимости CiV+ ... +CnVn = O следует зависимость CiV1 + ... + CnVn = 0.

Это предложение обращает при сделанных ограничениях предложение о линейной зависимости отрезков линейно зависимых строк (здесь — столбцов).

Доказательство. Пусть

Uk+\ = bk+u i"i + ••• + fc"fc>

............... О)

Пусть, далее, Cioi + ... CnVn = 0. Это означает, что первые k компонент столбца C\V\ + ... + CnVn равны нулю. Рассмотрим (k + 1)-ю компоненту. Она равна

Clofc+l, 1 + • • ¦ 4 Cnuk+i, п.

Но, в силу (1),

Ofe+1, 1 =&fc+l. I0Il 4 ... + bk+u kakU

ak+l, n — bk+\, loln + ••• +bk+l,kakn-

Поэтому

Cidk+u і + ••• 4•CnO4+I1n = = bk+u i(ciuii+ ... +cnai„)+ ... +bk+uk(ciakl+ ... +cnakn).

В скобках находятся первые k компонент столбца ciui + ... +CnVn-Все они равны нулю. Следовательно, равна нулю и вычисленная нами (&+1)-я компонента. Аналогично доказывается равенство нулю всех остальных компонент. Предложение доказано.

3. Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций.

Теорема 5. Пусть Uu ит и vi, vk — две совокупности строк, и все строки второй совокупности суть линейные комбинации строк первой. Тогда, если k > пг, совокупность vi, Vh линейно зависима.

Доказательство проведем методом математической индукции по числу комбинируемых строк. Для m = 1 утверждение почти очевидно. Пусть Wi = Ci«i, Uk = CkUu Если Ci = 0, то совокупность oi, ..., Vk линейно зависима, так как содержит нулевую строку. Если Ci =И= 0, то имеется линейная зависимость:

(—C2)Vi 4 CiV2 + 0•U3+ ••¦ +0•Vk = O.

Допустим теперь, что утверждение верно для совокупности из m — 1 комбинируемых строк, и в этом предположении докажем его для т.

«зі

линейная зависимость строк (столбцов)

111

Пусть

V1 = CnU1 + C12U2+ ... +cimum,

X)2 = C21«i + Cj2U2 + . , . + C2mUm,

9к = СкіЩ +ск2и2+ ... +ckmum.

Если Cn = C2]= ...= Cki = 0, то утверждение верно, так как тогда oi, ..., vk являются линейными комбинациями т — 1 строк и2, .... Um- Пусть один из этих коэффициентов отличен от нуля. Без нарушения общности можно считать, что С\\фО. Рассмотрим строки:

Вновь построенные k—1 строк являются линейными комбинациями т — 1 строк и2, ..., Um- Так как k~> т, то k — 1 > т — 1.

В силу индуктивного предположения строки vv.....v'k образуют

линейно зависимую совокупность. Это значит, что существуют не равные одновременно нулю коэффициенты Ь2, .... Ък такие, что

b2v'2+ ... +6X = O.

В последнее соотношение подставляем выражение строк v'2, ..., v'k через строки »1, Vh. Получим

Ь2 (v2- ^v1)+ ... +bk(vk-^Vi) = 0,

откуда

-—-O1 + O2u2 + • • • + OkPk — О-

Теорема доказана.

Следствие Любая совокупность строк длины п, содержащая более чем п строк, линейно зависима.

Действительно, любая строка {аи ап) длины п может быть представлена так:

A1(I1 0, 0)+02(0,1,0, .... 0)+ ... + а„(0,0, 0,1), т. е. является линейной комбинацией некоторых п вполне опреде ленных строк. В силу только что доказанной теоремы, если числе строк больше п, то их совокупность линейно зависима.

4. Базис и ранг совокупности строк. Пусть дано конечное илі бесконечное множество строк длины п. В нем существуют линейнс независимые подмножества, содержащие не более п строк. Среді них существуют максимальные, содержащие наибольшее числ< строк.

112

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

(ГЛ. IV

Теорема 6. Все строки данного конечного или бесконечного множества строк длины п являются линейными комбинациями строк любого максимального линейно независимого подмножества.

Доказательство. Пусть щ, ит — строки, образующие максимальное линейно независимое подмножество, и пусть и — какая-либо строка исходного множества. Тогда совокупность Uu .... ит, и линейно зависима и, как мы видели выше, и есть линейная комбинация «і, ит.

Линейно независимая совокупность строк, линейными комбинациями которых являются все строки рассматриваемого множества, называется базисной или фундаментальной совокупностью, короче, базисом данного множества строк.

Предложение 7. Число строк, составляющих базис, не зависит от его выбора.

Действительно, пусть их, ит и Vi, Vh — два базиса одного и того же множества строк. Так. как vx, •••, Vk — линейно независимая совокупность строк, являющихся линейными комбинациями строк Uu Um, должно быть k ^ т. По тем же соображениям m^.k, так что tn — k, что и требовалось доказать.

Число строк, составляющих базис данной совокупности строк, называется рангом этой совокупности.

Разумеется, тот же термин применяется к совокупностям столбцов.

Предложение 8. Даны две совокупности строк такие, что вторая из них содержит первую. Если их ранги одинаковы, то все строки второй совокупности являются линейными комбинациями строк первой совокупности.

Действительно, выберем базис первой совокупности. Так как ранги равны, выбранные строки образуют базис и для второй совокупности, и все ее строки являются линейными комбинациями этого базиса.
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed