Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, если бы определитель был отличен от нуля, то система имела бы решение.
Следствие 2. Если система п линейных уравнений с п неизвестными имеет более чем одно решение, то определитель матрицы из ее коэффициентов равен нулю.
Действительно, иначе система имела бы единственное решение.
Система линейных уравнений называется однородной, если все -ее свободные члены равны нулю. Однородная система (независимо от числа уравнений) всегда имеет решение, состоящее из нулевых значений для всех неизвестных. Для однородных систем представ-
108
матрицы и определители
ігл. IV
ляет интерес вопрос о том, является ли нулевое решение единственным или кроме него существуют другие, нетривиальные, решения»
Следствие 3. Для того чтобы система п линейных однородных уравнений с п неизвестными имела нетривиальные решения* необходимо, чтобы определитель матрицы из ее коэффициентов был равен нулю.
Действительно, если хотя бы одно нетривиальное решение имеется, то система имеет более чем одно решение, так как нулевое всегда есть. Следовательно, определитель матрицы из коэффициентов системы равен нулю.
§ 3. Линейная зависимость и линейная независимость строк (столбцов)
1. Определение и простейшие свойства. Напоминаем, что линейной комбинацией строк (или вообще матриц) W1, w2, •.., «т называется строка (матрица) C1W1 + с2и2 + ... + cmum, где с,- — числа (элементы основного поля). Ясно, что если все коэффициенты равны нулю, то линейная комбинация равна нулевой строке.
Совокупность строк Ui, и2, ..., ит называется линейно зависимой, если существуют коэффициенты Ci, с2, ст, не равные
НуЛЮ ОДНОВремеННО, такие, ЧТО C]M1 + C2W2 + . . . + CmWm = 0
(здесь 0 обозначает нулевую строку). Если же такие коэффициенты не существуют, т. е. из равенства C1W1 + с2и2 + ... +' cmum = 0 следует, что все коэффициенты C1, с2, ..., Cm равны нулю, то совокупность строк называется линейно независимой.
Так, например, строки Ui=- (1, 1, 1), U2= (—1, 2, 1), Us=(I, 4, 3) линейно зависимы, ибо 2W1 + W2— «з = (0,0,0). А строки Ui = = (1,1), и2 = (—1, 2) линейно независимы, ибо из C1W1 + с2и% = О следует
C1 — C2 = 0, с, + 2с2 = 0,
откуда Ci = C2 = 0.
Предложение 1. Для того чтобы совокупность строк была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одна из строк была линейной комбинацией остальных.
Действительно, пусть совокупность строк Ui, и2, Un линейно зависима. Это значит, что существуют C1, с2, ..., ст, не равные одновременно нулю, такие, что C1W1 + Сг«2 + • • • + стит = 0. Пусть с, =5^0. Тогда
Щ == ——Щ — •. •--;;— Щ-\--««+і — • • •--~ ит-
Необходимость доказана.
ПуСТЬ теперь Ui = C1Wl + • • • + Oi-iUi-x -4- C,+1«<+1 + • • • + CmMm-Т0ГДа C1W1+ ... + Сі-іШ-і +(— I)Wi + Сі+іШ+і + ... + Cm«m = 0,.
т. е. совокупность W1, Um линейно зависима.
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СТРОК (СТОЛБЦОВ)
109
Другая формулировка этого предложения:
Для того чтобы совокупность строк была линейно независима, необходимо и достаточно, чтобы ни одна из строк не была линейной комбинацией остальных.
Отметим еще некоторые очевидные предложения, касающиеся свойств линейной зависимости и независимости.
Ясно, что любая совокупность строк, содержащая нулевую строку, линейно зависима. Действительно, нулевая строка есть линейная комбинация остальных строк с нулевыми коэффициентами. Столь же ясно, что всякая совокупность строк, содероюащая две равные или две пропорциональные строки, линейно зависима. Далее, если совокупность строк линейно зависима, то всякая большая совокупность будет тоже линейно зависима. Наконец, если совокупность строк линейно независима, то и всякая ее часть линейно независима.
Предложение 2. Пусть строки щ, ит составляют линейно независимую совокупность, а строки и\, um, um+i — линейно зависимую. Тогда ит+\ есть линейная комбинация U\, ... , И/71.
ДеЙСТВИТеЛЬНО, B равенстве CiWj -f- . . - + CmUm -f- Cm+.iUm+l = 0
с не равными одновременно нулю коэффициентами коэффициент cm+i отличен от 0, так как иначе совокупность U\.....um была бы
линейно зависимой. Следовательно, «m+i = Cl
Сщ + \
Cm
Cm+i
Строку й = (Оь а*) будем называть отрезком строки и = = (а\, .... ak, ..., ап).
Предложение 3. Если между строками их, ит имеется линейная зависимость, то такая же зависимость имеет место и для их отрезков й\, йт фиксированной длины.
Действительно, равенство C\U\ + • ¦ • + cmum = 0 означает, что все компоненты строки CiMi + ... + cmum равны нулю, а равенство Сій] + ... + cmum = 0 означает то же самое для компонент, входящих в отрезки.
Отсюда непосредственно следует, что если некоторые отрезки строк Ui, Um линейно независимы, то и сами строки Ui, Um составляют линейно независимую совокупность.
2. Линейные зависимости столбцов матрицы с линейно зависимыми строками.
Предложение 4. Пусть U1, ит — строки матрицы
«п ... а\п
A =
ami ¦ • ¦ am
причем строки Uk+i.....Um являются линейными комбинациями
