Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
7. Определитель Вандермонда. Определитель вида
An (*|, X2, • • •> Хп) —
1 X2
X2
1
называется определителем Вандермонда и имеет некоторое теоретическое значение, так как возникает в различных ситуациях.
Подсчитаем определитель Вандермонда для п = 2 и п = 3. Имеем
1 Xi 1 X2
A2(X1, X2)
- X2 - Xj.
При подсчете определителя третьего порядка
A3 (X1, х2, X3) ¦¦
1 X1 1 X2 1 *3
* 2] ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ Щ5
вычтем из третьего столбца второй, умноженный на л'ь из второго, первый, умноженный на Х\. Получим:
•A3 (•^t > хъ хз) :
О
О
1 X 2 — Х[ —~~ X CfX
.2
1 JC3-JC1 JC3- JC3JC1
¦¦ (X2 — Jf1) (х3 — Jf1)
= (X2 — X1) (х3 — X1) (х3 — X2).
X2 — Х\ X2 (X2 — Лі)
JC з — Xi JC з (Хз —' Xi)
1 X2 і X3
Очевидно, что аналогичные рассуждения можно проводить и яри больших п, и это дает основание сформулировать гипотезу:
•Aa(X1, X2, Xn) =
=(Х2 — X1) (X3 — X1) . . . (Xn — X1) (X3 — X2) . . . (Xn — X2)... (Xn — Xn^1)=
= П (Xt — X1).
Докажем эту гипотезу методом математической индукции. Пусть она доказана для определителя порядка п—1. В определителе порядка п вычтем из каждого столбца предшествующий, умноженный на Xi :
10 0 0
<A«(*1» X2, Xn) :
I X.-) X j X2 1 Xі, — Xi Xv
I2A1
13Л(
„п-1 „ге-2„
Х<\ Xo X
1 Xn
1пл\
X., Xn Xi
1 JC2
1 *,
х<^
с"-2
¦ > хп).
¦¦ (X2 — X1) (X3 — X1) ... (Xn — X,)
1 Xn ... Xn
— (х2 — •^i) (*з — *l) • • • (хп — X1) An-1 (х2> X3, Мы можем применить предположение индукции:
&п (*lf X2, • • •. Xn) =
«(X8-X1) (X3-X1)... (Xn-X1) П (Xi-X1)= П (Xl-X,).
«><>/>2- ге>г>/>1
Формула доказана.
8. Система п уравнений с п неизвестными с ненулевым определителем матрицы коэффициентов. Дана система п линейных
106
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
|гл. hv
уравнений с-п неизвестными
oii*i + Яіа*і + ... + alnxn = bi,
021*1 + «22*2 + . • • + 02л*л — ^2> ЯЯ1*1+Я„2*2 + ••• + <»„„*„ = &„
с числовыми коэффициентами (результаты остаются в силе для системы уравнений с коэффициентами из любого поля).
«И 1
а12 .
• <*1Я
Предполагаем, что D =
а22 .
?¦0.
ап\
аП2 .
• • аяя
Сначала допустим, что уравнение имеет решение и что хх, х2,.. > ..., Jcn составляют решение, так что уравнения уже превратились-в верные равенства. Обозначим через Ац алгебраические дополнения ац в D.
Умножим первое из равенств системы на An, второе на A2x, п=е на АпХ и сложим. Получим
{аххАхх +O2xA2x + ... +ап\Ап{)хх +
+ {аХ2Ахх + а22А2Х + ... + ап2АпХ)х2 + •••
... + {CL1nAn + а2пА2Х + ... +аппАпХ)хп =
= Mn+ Мгі+ •¦• +М«>
Коэффициент при Xi есть определитель D, представленный B-разложении по элементам первого столбца. Коэффициенты же при х2, ..., Xn все равны нулю, так как они суть суммы произведений алгебраических дополнений элементов первого столбца на элементы других столбцов. Таким образом, мы пришли к равенству
Dxx = bxAxx + Ь2А2Х + ... + ЬпАпХ.
Таким же образом, умножив исходные равенства на алгебраические дополнения второго столбца, получим
D^2 = ЪХАХ2 + b2A22 + ... + ЬпАпч и т. д. Из этих равенств получим
*i = \ (Mn + Ь2А2Х + -.. + Млі).
*2 = -rV(Ml2 +M22+ ••• +Mn2).
Xn-^S (Міп + Мгп+ ••• +Мяя)-
Тем с«мым мы показали, что если решение существует, то оно. единственно и дается формулами, которые мы установили.
ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
107
Теперь нужно доказать, что решение существует, т. е. что формулы для леї, х2, Xn действительно дают решение. Имеем
«их, 4- O12X2+ ... + ainXn= МацЛп + а!2Л12 + ... + а1пАы) + + b2{anA2x + Ui2A22+ ... +аі„Л2„)+ ...
... + Ьп(ацАпі +аі2Ап2+ ... + аХпАпп).
Здесь коэффициент при Ь[ равен D в форме разложения по элементам первой строки, коэффициенты же при b2, ..., Ъп равны нулю как суммы элементов первой строки на алгебраические дополнения других строк.
Аналогичным образом, с использованием тех же свойств определителя, проверяется, что найденные х\, х2, хп удовлетворяют и всем остальным уравнениям.
Тем самым мы доказали теорему о существовании и единственности решения системы п линейных уравнений с п неизвестными с ненулевым определителем матрицы коэффициентов. Эта теорема носит название теоремы Крамера.
Формулы для решения монсно преобразовать, учитывая, что
bi а12 ... ащ
Mu+ Mi2+ ••• +Min =
Ьг Un • • • йгп Ьп «п2 . • • (inn
и аналогично преобразовать остальные числители. Получим
_ Di _ Dt _ Dn
х1— О > х2 — D • • • •. хп — D •
где Dc есть определитель, матрица которого отличается от матрицы определителя D только 1-м столбцом, в который помещены bi, b2, Ьп- Эти формулы носят название формул Крамера. Раньше мы их получили для п = 2 и п = 3.
9. Некоторые следствия из теоремы Крамера.
Следствие 1. Если известно, что система п линейных уравнений с п неизвестными не имеет решений, то определитель матрицы из коэффициентов системы равен нулю.
