Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 3

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 168 >> Следующая


Предложение 1. Если два целых числа а и b делятся на целое число с, то их сумма и разность тоже делятся на с.

Доказательство. Имеем a = eg, Ь — ch, где g и h — целые числа, ибо а и Ь делятся на с. Тогда а ± b = eg ± ch = c(g ± h). Числа g±h целые. Следовательно, числа а±Ь делятся на с.

8

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА

[ГЛ. I

Предложение 2. Если целое число а делится на целое число Ь и k — целое число, то ak делится на Ь.

Доказательство. Имеем a = btn при целом от, ибо а делится на Ь. Тогда ak = bmk. Число mk целое. Следовательно, ak делится на Ь, что и требовалось доказать.

Это предложение можно сформулировать и так: если с делится на а и а делится на Ь, то с делится на Ь. Действительно, «с делится на а» значит то же самое, что с== ak при целом k.

2. Деление с остатком. Всем хорошо известно, что если деление целых чисел не выполняется «нацело», то возможно деление «с остатком». Придадим этому высказыванию точный смысл в виде следующей теоремы.

Теорема 3. Пусть a, b є Z (т. е. а и b являются целыми числами) и ЬфО. Существуют целые числа q (неполное частное) и г (остаток) такие, что a = bq -f- г и 0 =? г ^!|&|— 1. Эти требования однозначно определяют q и г.

Доказательство. Положим сначала, что b > 0. Рассмотрим рациональное (не обязательно целое) число а=-^-. Если

оно целое, то положим q = а. Если же а не целое, то найдутся два соседних целых числа, в промежуток между которыми попадает а. Меньшее из них обозначим через q. Тогда q <. а < q 1. Итак, в обоих случаях мы нашли целое число q такое, что

q^-j- < <7 + 1- Умножим все три части этого двойного неравенства на Ь. Так как Ь > 0, знаки неравенства должно сохранить:

bq а < bq + b,

откуда 0 ^ а — bq <. b. Положим а — bq = г. Это целое число, и, так как г < Ь, а числа г и b оба целые, должно выполняться более сильное неравенство г ^b — 1. Итак, й = 6і? + ги0^г<й — 1.

Пусть теперь b < 0. Тогда Ь — —Применив предыдущее построение к числам а и \b , найдем целые числа q' и г такие, что a = q'\b\-\-r, O^r^ b\—1. Полагая q' — —q, получим a — q(—\b\)-\-r = qb-\-r, us?^r^.\b\—1. Тем самым существование q и г доказано как для положительных, так и для отрицательных Ь.

Остается доказать единственность чисел q и г. Пусть а =

— bq\ + ru 0 < г\ — 1, и а — bq2 + г2, 0 < r2 < |b| — 1, причем, разумеется, числа a, b, q\, q2, гь г2 — все целые. Тогда b<j, -4-+ г\ — bq2 + r2, b(qi — ?2)=^2 — г\. Положим, что q\?zq2. Тогда І'г — гі| = |Ь| • I 9i — q2\^\b\, ибо |<7i — q2}^l. С другой стороны, самое большее возможное значение для г2 — гх есть |6| —

— 1 — 0 == f fr I — 1, самое меньшее: 0 —(|&|—1) = —1). Таким образом, — (\b\— 1)< r2 — г, 1, откуда \г2 — г;!< ^\b\—1, что противоречит установленному ранее |г2 — гх\~^\Ь\. Мы пришли к противоречию, доказывающему неверность сделан-

ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

9

ного предположения q\ ф q2. Следовательно, q\ — q2, а тогда и гх == Г2- Теорема Доказана.

Замечание. По ходу доказательства мы использовали то обстоятельство, что для любого вещественного а (у нас а было рациональным) найдется целое q такое, что q ^ а < q -f- 1. Такое число q называется целой частью а и обозначается [а]. Например, [5] - 5, [л] = 3, [-2, 7] = -3.

3. Наибольший общий делитель. Пусть а и Ь — два целых числа, из которых по крайней мере одно отлично от нуля. Наибольшим, общим делителем чисел а и b называется наибольшее натуральное число d, являющееся делителем как для а, так и для Ь.

Например, наибольший общий делитель чисел —6 и 10 равен 2, наибольший общий делитель чисел —6 и 0 есть 6, наибольший общий делитель чисел —6 и 5 равен 1.

Наибольший общий делитель чисел а и b обозначается н.о.д.(а, Ь) или просто (а, Ь); последнее обозначение применяется только в случае, если в том же контексте символ (а, Ь) не используется в каком-либо другом смысле (например, координаты точки на плоскости или скалярное произведение векторов а и Ь и т. д.).

Важное свойство наибольшего общего делителя сформулировано в следующей теореме.

Теорема 4. Пусть а, Ь — целые числа, одно из которых отлично от 0, и пусть d — ux наибольший общий делитель. Тогда

(1) существуют целые числа Uo, Vo такие, что d = ащ + bv0;

(2) если d' — какой-либо общий делитель чисел а и Ь, то d делится на d'.

Доказательство. Рассмотрим бесконечное множество M целых чисел, состоящее из чисел аи + bv, где UMV независимо друг от друга пробегают все целые числа: M = {аи + + bv\u, не Z}.

Множество M содержит число а, оно получается при и = 1, v = 0; M содержит b (при и = 0, г> = 1); M содержит 0 (при и = 0, и==0) и бесконечно много других целых чисел.

Устанозим, что если два числа х и у принадлежат M и уфО, то остаток при делении х на у тоже принадежит М. Действительно, X є M и у єМ значит, что х = ащ + bvu у = au%-\-bv2 при некоторых целых Ui, Vi, ы2, V2. Пусть X = yq + г, q, г е Z и г ^ I г/1— 1, так что г есть остаток при делении х на у. Тогда г = X ~ yq = аи\ + bvi — q(au2 + bv2) = а (щ — qu2) + b(vi — qv2). Числа U1-qu2 и v\—qv2 целые, следовательно, rєМ.
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed