Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Глава XI
СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ
§ 1. Выражение симметрических полиномов через основные......284
§ 2. Значения симметрических полиномов от корней полинома.....288
§ 3. Результант.......................294
Глава XII
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Определения и простейшие свойства.............301
§ 2. Подпространства.....................307
§ 3. Линейные функции........>............312
§ 4. Линейные отображения векторных пространств.........314
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 5. Линейные операторы в векторном пространстве.........317
§ 6. Операторы в векторных пространствах над полем С комплексных чисел 333 § 7. Операторы в векторных пространствах над полем R вещественных чисел..........................341
Глава XIII
ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Определения и простейшие свойства.......¦......345
§ 2. Подпространства унитарного (или евклидова) пространства .... 352 I 3. Пространства, сопряженные с евклидовым и унитарным пространствами 354
§ 4. Операторы в унитарном пространстве.............355
§ о. Операторы в евклидовом пространстве............362
§ 6. Преобразование уравнения гиперповерхности второго порядка к каноническому ваду......................366
§ 7. Линейные отображения унитарного пространства в унитарное . . . 371 § 8. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве.......374
Глава XIV
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ
§ 1. Основные понятия............•........377
§ 2. Действия над тензорами . .¦......... . .¦.....380
§ 3. Симметричные и антисимметричные тензоры...........382
§ 4. Тензорные произведения векторных пространств.........383
Глава XV АЛГЕБРЫ
§ 1. Общие сведения ..................388
¦§ 2. Алгебра кватернионов...................394
§ 3. Внешняя алгебра.....................401
Список литературы.......................416
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга представляет собой обработку лекций по алгебре, читавшихся мной на математико-механическом факультете Ленинградского государственного университета на протяжении нескольких десятилетий для математиков всех специальностей.
От года к году содержание лекций несколько менялось. Здесь собрано теоретико-множественное объединение материала, читавшегося в разные годы.
В основу книги положены лекции, которые я читал в последний раз в 1977—1978 гг. Лекции были старательно записаны Л. Ю. Колотилиной, за что я приношу ей глубокую благодарность.
В ЛГУ линейная алгебра не отделена от общего курса алгебры и читается на третьем семестре. В соответствии с этим последние главы, начиная с главы XII, посвящены линейной алгебре. Эле-ментарно-калькулятивная часть линейной алгебры, состоящая из теории матриц, определителей и квадратичных форм, занимает главы IV и V; этот материал излагается в ЛГУ на первом семестре.
Язык книги несколько архаичен из-за того, что я не тороплюсь вводить абстрактные понятия во избежание формализма при их восприятии. Я считаю, что их следует вводить по мере того, как удается возбудить в учащихся потребность в обобщении или, по крайней мере, если имеется возможность достаточно иллюстрировать общие понятия более конкретным материалом.
Оформление рукописи было бы для меня невозможным, если бы не энергичная помощь моих товарищей по работе в ЛОМИ, Всем им моя глубокая благодарность!
Д. К. Фаддеев
ГЛАВА I
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
Изучение свойств целых чисел составляет содержание раздела математики, имеющего название «арифметика» или «теория чисел». Обычно первый термин относится к кругу самых элементарных вопросов, в основном, к правилам вычислений с целыми числами, а второй — к установлению более глубоких и нетривиальных свойств целых чисел. Цель этого раздела курса — познакомить читателя с самыми простыми идеями и фактами теории чисел.
§ 1. Теория делимости целых чисел
1. Определение делимости и простейшие свойства этого отношения. Множество всех целых чисел принято обозначать Z. Множество Z состоит из натуральных, т. е. целых положительных чисел 1, 2, 3, ..., числа 0 и целых отрицательных чисел —1, —2, —3, ... Ясно, что сумма, разность и произведение двух целых чисел суть снова целые числа. Частное же от деления двух целых чисел может и не быть целым числом. Говорят, что целое число а делится на целое число Ь, если существует такое целое число с, что a = be. Другими словами, а делится на Ь, если их частное с снова есть целое число. То же отношение делимости а на & может быть выражено другими равнозначными терминами: b делит а; Ь — делитель а; а есть кратное для Ь. Из определения делимости ясно, что число О делится на любое целое число, в том числе и на 0, но ни одно целое число, отличное от нуля, на нуль не делится. Ясно также, что любое целое число а делится на а, —а, 1 и —1. Эти числа называются несобственными, или тривиальными, делителями числа а. Остальные же делители, если они есть, называются собственными, или нетривиальными.
Запишем теперь в виде предложений (слово «предложение» значит то же, что слово «теорема», — это высказывание, которое должно быть доказано; мы будем пользоваться словом «теорема» только тогда, когда нужно подчеркнуть важность содержания) некоторые простейшие свойства делимости.
