Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
3. Прямое прозведение факторгрупп. Пусть Ни H2, Hk — подгруппы групп Gi, G2, ..., Gk- Внешнее прямое произведение Яі X H2 X ¦.. X Hk есть, очевидно, подгруппа группы Gi X G2 X • ¦ • .... X Gk- Если Hi являются нормальными подгруппами групп Gi, то Я] X H2 X ••• X Нк есть нормальная подгруппа группы G1XG2X ... XGk.
Предложение 4. Факторгруппа группы GiXG2X ••• XGa по HiXH2X ... ХНк равна (0,/Я,)Х(С2/Я2)Х ... X(Gk/Hk).
Доказательство. Смежные классы группы GiXG2X ••• ,.. X Qk по HiXH2X ... X Нк образованы последовательностями (zioi, z2a2.....Zkuk), где Zi пробегает Я,-, а а,- — фиксированные элементы из Gi. Эти множества естественно рассматривать как последовательности классов смежности {Hxai, Н2а2,..., ЯАаА). Покомпонентное умножение элементов этих множеств сводится к покомпонентному умножению классов смежности, т. е. элементов факторгрупп Gi/Hi. Тем самым предложение доказано.
§ 5. Группы преобразований
1. Определения. Пусть задано некоторое множество M и группа G, «действующая» на элементы этого множества; Точнее, это значит, что определено действие (мы будем обозначать его как умножение), сопоставляющее элементу из M и элементу из G новый элемент из М. При этом требуется выполнение следующих аксиом:
1. m-i=m при любом m&M; 1 обозначает единицу группы G.
2. m(ZiZ2) = (wzi)z2 при любых иеМ, Zi и Z2 из О.
"260
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ. X
Здесь элементы записываются как операторы, действующие на элементы из M справа. Принята также левая запись, при которой действие г є G на теМ записывается в форме ztn. При левой записи аксиомы записываются в виде:
1. 1 •m = т.
2. (ZiZ2)т = zi(z2m).
Правая и левая зап«си совершенно равносильны, но в действии произведения элементов группы на тєМ имеется разница. При правой записи первым действующим является левый сомножитель, а затем действует правый. При левой записи наоборот первым действующим является правый сомножитель. В этом параграфе мы будем пользоваться правой записью. Иногда будем применять левую, и фактически это уже было сделано в другой ситуации при рассмотрении гомоморфизмов.
Множество М, на котором определено действие группы G, носит название G-операторного множества, или, короче, G-множе-ства. Его элементы будем называть точками.
Пусть m — некоторый элемент из М. Множество mG, т. е. множество всех mz при z є G, называется орбитой, порожденной точкой т. Точка nil, лежащая на орбите, порожденной точкой т, порождает ту же орбиту. Действительно, пусть mi = mz\. Тогда miG =» (mzi) G = m(2iG)== mG. Таким образом, орбиты могут либо совпадать, либо не иметь общих элементов. Тем самым G-множество разбивается на орбиты. Каждая орбита, в свою очередь, является G-операторным множеством, состоящим из одной орбиты, именно, себя самой. Если G-множество M состоит из одной орбиты, то говорят, что G действует на M транзитивно, а само множество M называют однородным пространством по отношению к группе G.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. M — множество точек на плоскости, Q — группа векторов относительно сложения. Действие вектора на точку определяется как перенос точки на этот вектор.
Ясно, что здесь одна орбита, так что множество точек на плоскости является однородным пространством по отношению к переносам на векторы, т. е. параллельным переносам.
Пример 2. M — множество точек на плоскости, G — группа всех движений плоскости.
Это тоже однородное пространство.
Пример 3. M — множество точек на плоскости, G — группа вращений вокруг фиксированной точки 0.
Здесь орбитами будут окружности с центром в 0 и сама точка 0.
2. Классы сопряженных элементов. В качестве множества Af возьмем саму группу Q и действие элемента 2EG на элемент а є G определим как сопряжение z~xaz. Здесь записывать такое действие в виде правого умножения неудобно, получится путаница
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
261
с обычным умножением в группе, поэтому оператор сопряжения поднимем в показатель, т. е. будем записывать z~xaz = az. Выполнение аксиом легко проверяется:
а = 1 ~'al = а, azlZl _ 2-I2-IaZ1Z2 = Z2-1 (zf'azj Z2 = Z2"1 (aZl) Z2 = (аг')г<.
Орбиты в этой ситуации называются классами сопряженных элементов. Среди них имеются состоящие из одного элемента. Таков класс, порожденный единицей, ибо Z-1Iz=I при всех z. Такими же будут классы, составленные из каждого элемента центра, ибо если а принадлежит центру, то az = z~'az = Z-1Za = = а при любом гєС.
3. Строение однородных пространств. Рассмотрим еще один очень важный пример внутри самой теории групп.
Пусть G — группа и H— некоторая ее подгруппа. Рассмотрим множество левых классов смежности На, определив на этом множестве действие группы G как правое умножение на ее элементы, т. е. положив (Ha)z = Haz для гєо. Это действие действительно переводит левые классы смежности в левые классы смежности, и выполнение аксиом G-операторного множества тривиально.
Все классы смежности составляют одну орбиту, ибо Ha2 = = (#a,)af'а2, т. е. множество левых классов смежности образует однородное пространство по отношению к правым умножениям на элементы группы G.
