Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
F(x0, у0, z0, р0, qQ) = 0.
Интегрируя систему (5.50) при начальных'значениях X0 = X0 (s), Уо — Уо(5)- Z0 = Z0(S), P0= p0(s), q0 = qQ(s), удовлетворяющих уравнению F(х0, у0, Z0, р0, <70) = 0, получим x = x(t, s), у = у (t, s), z = z(t, s), р= р(t, s), q = q(t, s).
При фиксированном 5 будем иметь одну из характеристик
X = X (t, s), у = у (t, s), z = z (t, S),
меняя s, получим некоторую поверхность. В каждой точке этой поверхности при р = р (t, s), q = q(t, s) уравнение F (х, у, z, p. q) = 0
удовлетворяется, но надо еще выяснить, будет ли при этом р = ^-и q = Щ-, или, что то же самое, будет ли dz = pdx -j- qdy, или
"-"(#'•+^+«(**+!«)-!*+^*.
что эквивалентно двум условиям:
0, (5.52)
0. (5.53)
Второе из этих уравнений, очевидно, обращается в тождество, так как при составлении системы (5.50) мы уже требовали, чтобы вдоль характеристики dz = р dx -\- q dy. Впрочем, в этом легко убедиться и непосредственно, если принять во внимание, что, в силу системы (5.50), dx j, dy „ dz г, . _
§ 4] нелинейные уравнения первого порядка 271
dp_ML.4- d2x . dq dy . д2у d*z __n ds dt "г"р dsdt ^ ds dt "*" q dsdt dsdt ~ '
будем иметь
dU _ dp^ dx . dq dy dp dx dq dy
dt TT Ts~ "г" Tf Ts ds'Tt dT ~dt
или, в силу уравнений (5.50),
-(Fx ^pF1)M - (Fy + qFt) ? _ Pp? . FqM_
= -[F
ІІірІ^Іі P M + P ML] T y ds r 2 ds ^ » ds т я ds)'
ds
так как F sO, и следовательно, полная частная производная -^j- [F] = 0. Из уравнения
^ =-F9U (5,65)
, .с сп. dx ду dz dx dy dz
(в (5.50) вместо -щ-, -+, -^- мы писали -^-, -^-, так как
считали s фиксированным).
Для того чтобы удовлетворялось уравнение (5.52), необходимо наложить еще некоторые ограничения на выбор начальных значений X0(S)1 y0(s), z0(s), p0(s), q0(s). Действительно, обозначим
дх , ду дг /с. ...
и докажем, что U==0, если начальное значение U\l=0 = 0, откуда будет следовать, что если начальные функции
X0(S). y0(s). z0(s)> Po(s)' 1o(s)
выбрать так, что
P0 (s) х'0 (S) + <70 (S) у0 (S) — Z0 (S) = 0,
то U = 0 для всех t.
Дифференцируя (5.54) по t, получим
dU____dp_d^ д2х oq ду д2у дгг
dt ~ dt ds Р dt ds ^ dt ds ^~q otds dtds
и, принимая во внимание результат дифференцирования тождества (5.53) по 5:
272 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ГЛ. 5
/
- J4"
находим U = U0e 0 . Следовательно, если U0 = Q, то U = O, что, впрочем, следует и из единственности решения U = O линейного уравнения (5.55), удовлетворяющего условию U\t=Q = 0. Итак, при интегрировании уравнения
F(x, у, z, р, q) = 0 (5.45)
с начальными условиями X0 = X0(s), y0 = y0(s), Z0 = Z0(S) по методу Коши надо из уравнений
F(x0(s), y0(s), Z0(S), p0(s), q0(s)) = 0
и
P0 (S) Xn (s) + Q0 (S) У0 (S) — Z0 (s) = О
определить функции P0=P0(S) и q0 = q0(s) и затем интегрировать систему уравнений
^=4+ = - ; р =- - d2 р =- р =dt (5.50)
с начальными условиями: при t = 0
x = x0(s), y = y0(s), Z = Z0(S), p = p0(s), q = qQ(s). Три функции
X = X (t, s), у = у (t, s), Z = Z (t, S)
из решения системы (5.50) и дают в параметрическом виде уравнение искомой интегральной поверхности уравнения (5.45).
Все вышеизложенное легко обобщается на нелинейные уравнения в частных производных с произвольным числом независимых переменных ч
F(*V х2.....ха> Z' Pv Pi.....Pn) = O- (5-56)
где
ог /¦ 1 г,
Pi = SxJ (г==1'2.....п)-
Требуется определить интегральную га-мерную поверхность z = z(xv х2, Xn) уравнения (5.56), проходящую»через заданную (п — 1)-мерную поверхность:
Xi0 = xi0 (S1, S2.....Sn-1) (/=1,2.....га), (5.57)
zO~Zo(SVS2.....
Временно предположим, что нам известны начальные значения функций
Pio = Piu(sv s2.....sn-\) C=L 2.....п); (5.58)
5 4] НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 273
Fn Fn F,
n V „./
Pi
dpi - - dp" = dt (5.59;
(1=1, 2.....n). (5.60)
fx, + PlFz "" F Kn+PnFz
с начальными условиями (5.57) и (5.58), получим
Xi = X1(I, s1, s2.....sn-l)'
z = z(t, sv s2.....Sn-1),
Pi = PiV- s1, s2.....Sn-1).
При фиксированных S1, S2.....Sn-1 уравнения (5.60) определяют
в пространстве с координатами X1, х2, .... хп, z кривые, называемые характеристиками, каждой точке которых отнесены еще числа
Pi = P1 (t, s1, s2.....sn-1), определяющие направление некоторых
плоскостей
Z-Z=J^Pi(X1-X1). (5.61)
<' = i
Характеристики вместе с плоскостями (5.61) образуют так называемые характеристические полосы.
При изменении параметров S1, S2, Sn-1 получаем (п—^-параметрическое семейство характеристик
xt = xt(t, S1.....Sn-1), z = z(t, S1.....Sn-1),
проходящих через заданную (п—1)-мерную поверхность (5.57). Покажем, что при определенном выборе функций
PtO = Pw(Sv s2.....Sn-1) (/=1, 2.....п)
точки, лежащие на характеристиках семейства (5.60), образуют искомую /г-мерную интегральную поверхность. Следовательно, надо будет доказать, что при определенном выборе функций Pi0(s1, s2..... Sn-1);
