Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
В точках заданной кривой оба уравнения (5.40) и (5.41) по t обращаются в тождества:
Ф(х(0, y(t), z(t), a, b (а)) = 0 (5.42)
и
дФ (X (*), у (г), г (Q, а, Ъ (а)) , дФ (х (t), у (Q, г (<), а, fr (а)) , __
da d* ^ '
(5.43)
Однако определить из этих уравнений функцию b = b(a) было бы довольно сложно. Значительно проще можно определить эту функцию из системы уравнений (5.42) и
-^0+^/(0 + ^-(0 = 0, (5.44) или в краткой записи
(N • t) = 0,
где t—вектор касательной к заданной кривой
х = л:(0, У = У(0. z = z(t), (5.39)
a N — вектор нормали к поверхности Ф = 0, а следовательно, и к искомой огибающей в соответствующих точках. Условие (5.44) геометрически очевидно, так как искомая поверхность должна проходить .через заданную кривую и, следовательно, касательная к этой кривой должна лежать в касательной плоскости к искомой поверхности.
Пример 6. Найти интегральную поверхность уравнения г = рх -4- qy + -\- ~-, проходящую через кривую у = О, Z = X2.
Полный интеграл этого уравнения (см. случай 4 на стр. 263) имеет вид г = ах-{-by -j- —^-. Уравнение заданной кривой можно написать в параметрической форме x = t, у = 0, z = t2.
Для определения функции Ь = Ь(а) составляем систему уравнений (5.42)
и (5.44), которые в данном случае имеют вид t2 = at -{- -^p и 2t = a, откуда
а2
b = — а, z = a(x— у)--. Огибающая этого семейства определяется
уравнениями
z = a(x — y)--у
и
а п
х-у-^=0. , Исключая а, получим z = (х — у)2.
268 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5
Если система (5.36) (стр. 265) легко интегрируется, то для решения поставленной обобщенной задачи Коши очень удобен излагаемый ниже метод характеристик — метод Коши.
Интегральную поверхность z = z(x, у) уравнения
F(x, у, z, р, ff) = О, проходящую через заданную кривую
X0 = X0(S), У0 = Уо(5). Z0 = Z0(S),
можно, как и для квазилинейного уравнения (см. стр. 247), представлять себе состоящей из точек, лежащих на некотором однопара-
метрическом семействе кривых
X = x(t, S), у = у (t, S), Z = z(t, s),
x=z(t.s, У =1/( is,
Z = Z(Is)
Уо =Уа's > Z0=^0(S)
Рис. 5.4.
где 5 — параметр семейства, называемых характеристиками.
Вначале мы найдем семейство характеристик, зависящее от нескольких параметров, а затем, проводя характеристики через точки кривой
X0 = X0(S), y0 = y0(s),
Z0 = Z0(S)
и удовлетворяя еще некоторым условиям, выделим однопараметри-ческое семейство кривых, в которых параметром можно считать s:
X = X (t, s), у = у (t, s), z = z (t, s)
(рис. 5.4). Множество точек, лежащих на этих кривых, и образует искомую интегральную поверхность. Такова в кратких чертах идея метода Коши.
Пусть Z = z (х, у) является интегральной поверхностью уравнения
F(x, у, z, р, q) = 0. (5.45)
Тогда, дифференцируя тождество (5.45) по х и по у, получим
:0, = 0.
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 269
да dp , или, так как -~ = -^-, будем иметь
Fx + Fzp+Fp? + Fa% = 0, Fv + Fzq+Fp^- + Fq*L = 0.
(5.46)
P дх 1 і ду
Уравнения характеристик для системы уравнений (5.46), квазилинейной относительно р и q, причем z считается известной функцией от X и у, имеют вид (см. стр. 254)
** =!»=-*P=-*L-^ = dt. (5.47) f-p Pq Px+pFz Fy + qFz
Так как z связано с р и q уравнением
dz = pdx + qdy, (5.48)
то вдоль характеристики
dz dx . dy с і о
или
dz
pFp + qf—dt- <б'49>
что дает возможность дополнить систему (5.47) еще одним уравнением (5.49).
Итак, в предположении, что z = z (х, у) является решением уравнения (5.45), приходим к системе
d±_dy___ dz _ _ dp __ dq _ . _n
Fp—F4~ PFp + qPq - Fx+ рРг ~ Fy + qFz ~al-
Из уравнений (5.50) можно, не зная решения z = z(x, у) уравнения (5.45), найти функции X = х (t), у = у (t), z = z (t), р = р (г), q = q (t), т. е. можно найти кривые
X = X (t), у = у (f), Z = Z (t), ,
называемые характеристиками, и в каждой точке характеристики найти числа р= p(t) и q = q(t), определяющие направление плоскости
Z- Z = р (X -x) + qiY —у). (5.51)
Характеристика вместе с отнесенной к каждой ее точке плоскостью (5.51) называется характеристической полосой.
Покажем, что из характеристик может быть образована искомая интегральная поверхность-уравнения F (х, у, z, р, q) = 0.
Прежде всего заметим, что вдоль интегральной кривой системы (5.50).функция F сохраняет постоянное значение
F(x, у, z, р, q) = c,
270 УРАВНЕНИЯ B ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ггл. 6
dx
dy
dx , dy
dz ds dz dt
другими словами, функция F (х, у, z, р, q) является первым интегралом системы (5.50).
Действительно, вдоль интегральной кривой системы (5.50)
?р,х. ,.+ ,.t-r,"+ ? +
- F,FP+F,F,+F, (pFe+qFt) - F1I.F,+pF,) - F1 (F1-HF1) Bs 0,
следовательно, вдоль интегральной кривой системы (5.50) F(x, у, z, р, q) = c, где с = F (х0, у0, z0, р0, q0).
Для того чтобы вдоль интегральных кривых системы (5.50) удовлетворялось уравнение F (х, у, z, р, q) = 0, надо начальные значения -^0(5)- Уо(5)> zq(s)< Po(s)> <7о(5) выбирать так, чтобы они удовлетворяли уравнению
