Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
z = ах-\-Ьу-\-ц>(а, Ь).
Пример 1. Найти полный интеграл уравнения р = З^3.
q = a, P= За3, dz = За3 dx -(- a dy, z = Za?x -)- ay -\-b.
Пример 2. Найти полный интеграл уравнения pq = 2ху.
P 2у 2у , . . 2у .
— = — = а, D= ах, q = — , dz = ах dx4-— dy, X q ^ а 1 a J
ах2 . у2 .
Пример 3. Найти полный интеграл уравнения гъ = pq1.
/ ч , dz dz
z=z(u), где и=ах + у, P=O.-^-, 4 = -j?,
-(¦
dz Y dz —г
-г- или —г- = axz, где ах = а a , du I du
z= be
Пример 4. Найти полный интеграл уравнения Z= px + qy + pP + q*. Полным интегралом является
Z= ах + by + а2 + *2-
В более сложных случаях применяется один из общих методов нахождения полного интеграла уравнения
F(x, у, z, р, q) = 0.
3) Если уравнение (5.28) имеет вид F (z; р, q) = 0, то, полагая Z = z (и), где и = ах-\-у, получим
264 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5
(5.34)
F(x, у, z, р, q) = 0,
U(х, у, z, р, q) = а,
в которых р и q рассматриваются как функции х, у и z, определяемые системой (5.34).
Дифференцируя по х, получаем
dF dF др дР dq __ Q
дх ' др дх ' dq дх ' ' dU dU dp dU dg __ Q дх 'dp дх ' dq дх '
откуда
D(P, U)
dq _ D (p. X) дх ~~~ D (F1 U) ' D(p. q)
Аналогично, дифференцируя (5.34) по у и определяя , получим
D(F, U) У
др.. D(y.q)
ду ~~ D(F U) '
D (р, q)
Наиболее простая идея лежит в основе метода Лагранжа и Шарпи. По этому методу к уравнению
F(x. у, z, р. <7) = 0 (5.28)
подбирают уравнение
U(x, у, г, р, q) = a (5.31)
так, чтобы определяемые из системы уравнений (5.28) и (5.31) функции р = р(х, у, z, а) и q = q(x, у, г, а) приводили бы к интегрирующемуся одним соотношением уравнению Пфаффа
dz = p(x, у, Z. a)dx -f q(x, у, z, a)dy (5.32)
Тогда интеграл уравнения Пфаффа Ф(х. у, z, a, 1)) = 0, гле b — произвольная постоянная, появляющаяся при интегрировании уравнения (5.32), будет полным интегралом уравнения (5.28). Функция U определяется из условия интегрируемости уравнения (5.32) одним соотношением
(F-rotF) = 0, где F = /?(.*:, у, z, a)\ + q(x, у, z, a)j—k, т. е. в развернутом виде из уравнения
-¦?+?=•• <5-33>
Производные ¦—, ' • ~jf вычисляются дифференцированием тождеств
§ 41 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 265
дд . D(P, г) дг ~~ D (F, U)
D (р. q)
Подставляя вычисленные производные в условие интегрируемости (5.33; и умножая на определитель dq^' ^ » который мы считаем отличным от нуля, получим
__~. OU] і /с/7 <??/ <??/ n і
riF dt/ dF гіг dp dp дг
dF dU dF dU dy dq dq dy
-г"!———|-г-\ол; dp dp dx)—"
или
d?_dU_ і _dF _d?/_ і /
d/> гід: d# dy \^ d/> ^ d^ / d?
-(?+o?)IH?<5-35>
Для определения функции U мы получили однородное линейное уравнение (5.35), которое интегрируется методом, указанным в § 2 этой главы: составляется уравнение характеристик
dx__dy__dz__ dp___dq
TF ~ TF — dF dF ~~ dF dF ~ dF , dF_ dp d? P dp+q dq 'dx+pdz dy+qdz
находится хотя бы один первый интеграл системы (5.36)
U1(X, у, z, р, q) = a,
и если функции F и U1 независимы по отношению к р и q, т. е.
(P ^ ^ в' то пеРвый интеграл ?/] (х, у, z, р, q) и будет искомым решением уравнения (5.35).
Следовательно, определяя р = р(х, у, z, а) и q = q(x, у, г, а) из системы уравнений
F(x, у, z, р, q) = 0, U1 (х, у, z, р, q) = a
Дифференцируя (5.34) по г и разрешая относительно -^-, будем иметь
D (F, U) I3P.— D (г- ?)
D(p, q) D(F, U)
266 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5
и подставляя в
dz = p(x, у, z, a)dx-\-q(x, у, z, a)dy,
получим интегрируемое одним соотношением уравнение Пфаффа, решая которое, находим полный интеграл исходного уравнения
Ф(дг, у, z, а, Ь) = 0.
Пример 5. Найти полный интеграл уравнения
yzp2 — 9 = 0. (5.37)
Система (5.36) имеет вид
dx _ _ , _ dz _ dp _ dp
2pyz ~ ~~ 2p2yz — q~ УР3 ~ zp2 -+- yp2q '
Воспользовавшись исходным уравнением, упрощаем знаменатель третьего
, dz dp
отношения и получаем интегрируемую комбинацию —^j- = —, откуда
7- (5.38)
а а2 V
Из уравнений (5.37) и (5.38) находим р= —, 9 = —~-, откуда dz =
= ^dx-\- ^-j- dy. Умножая на 2z и интегрируя, находим полный интеграл исходного уравнения z2 = 2ах -f- а2у2 -\- Ь.
Зная полный интеграл Ф(х, у, z, а, Ь) = 0 уравнения F(x, у, z, р, (7) = 0,
можно, вообще говоря, решить основную начальную задачу (см. стр. 242) или даже более общую задачу об определении интегральной поверхности, проходящей через заданную кривую,
X = X(t), y = y(t), z = z(t). (5.39)
Определим функцию b = b(a) так, чтобы огибающая однопара-метрического семейства
Ф(дгГу, z, а, о(а)) = 0, (5.40)
определяемая уравнениями (5.40) и
45-+-3-»»-«- <5-«>
проходила бы через заданную кривую (5.39).
§ 4] НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 267