Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Эльсгольц Л.Э. -> "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление " -> 84

Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление — Наука, 1969. — 425 c.
Скачать (прямая ссылка): differencialnie-urovneniya.djvu
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 131 >> Следующая


z = ах-\-Ьу-\-ц>(а, Ь).

Пример 1. Найти полный интеграл уравнения р = З^3.

q = a, P= За3, dz = За3 dx -(- a dy, z = Za?x -)- ay -\-b.

Пример 2. Найти полный интеграл уравнения pq = 2ху.

P 2у 2у , . . 2у .

— = — = а, D= ах, q = — , dz = ах dx4-— dy, X q ^ а 1 a J

ах2 . у2 .

Пример 3. Найти полный интеграл уравнения гъ = pq1.

/ ч , dz dz

z=z(u), где и=ах + у, P=O.-^-, 4 = -j?,

-(¦

dz Y dz —г

-г- или —г- = axz, где ах = а a , du I du

z= be

Пример 4. Найти полный интеграл уравнения Z= px + qy + pP + q*. Полным интегралом является

Z= ах + by + а2 + *2-

В более сложных случаях применяется один из общих методов нахождения полного интеграла уравнения

F(x, у, z, р, q) = 0.

3) Если уравнение (5.28) имеет вид F (z; р, q) = 0, то, полагая Z = z (и), где и = ах-\-у, получим

264 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5

(5.34)

F(x, у, z, р, q) = 0,

U(х, у, z, р, q) = а,

в которых р и q рассматриваются как функции х, у и z, определяемые системой (5.34).

Дифференцируя по х, получаем

dF dF др дР dq __ Q

дх ' др дх ' dq дх ' ' dU dU dp dU dg __ Q дх 'dp дх ' dq дх '

откуда

D(P, U)

dq _ D (p. X) дх ~~~ D (F1 U) ' D(p. q)

Аналогично, дифференцируя (5.34) по у и определяя , получим

D(F, U) У

др.. D(y.q)

ду ~~ D(F U) '

D (р, q)

Наиболее простая идея лежит в основе метода Лагранжа и Шарпи. По этому методу к уравнению

F(x. у, z, р. <7) = 0 (5.28)

подбирают уравнение

U(x, у, г, р, q) = a (5.31)

так, чтобы определяемые из системы уравнений (5.28) и (5.31) функции р = р(х, у, z, а) и q = q(x, у, г, а) приводили бы к интегрирующемуся одним соотношением уравнению Пфаффа

dz = p(x, у, Z. a)dx -f q(x, у, z, a)dy (5.32)

Тогда интеграл уравнения Пфаффа Ф(х. у, z, a, 1)) = 0, гле b — произвольная постоянная, появляющаяся при интегрировании уравнения (5.32), будет полным интегралом уравнения (5.28). Функция U определяется из условия интегрируемости уравнения (5.32) одним соотношением

(F-rotF) = 0, где F = /?(.*:, у, z, a)\ + q(x, у, z, a)j—k, т. е. в развернутом виде из уравнения

-¦?+?=•• <5-33>

Производные ¦—, ' • ~jf вычисляются дифференцированием тождеств

§ 41 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 265

дд . D(P, г) дг ~~ D (F, U)

D (р. q)

Подставляя вычисленные производные в условие интегрируемости (5.33; и умножая на определитель dq^' ^ » который мы считаем отличным от нуля, получим

__~. OU] і /с/7 <??/ <??/ n і

riF dt/ dF гіг dp dp дг

dF dU dF dU dy dq dq dy

-г"!———|-г-\ол; dp dp dx)—"

или

d?_dU_ і _dF _d?/_ і /

d/> гід: d# dy \^ d/> ^ d^ / d?

-(?+o?)IH?<5-35>

Для определения функции U мы получили однородное линейное уравнение (5.35), которое интегрируется методом, указанным в § 2 этой главы: составляется уравнение характеристик

dx__dy__dz__ dp___dq

TF ~ TF — dF dF ~~ dF dF ~ dF , dF_ dp d? P dp+q dq 'dx+pdz dy+qdz

находится хотя бы один первый интеграл системы (5.36)

U1(X, у, z, р, q) = a,

и если функции F и U1 независимы по отношению к р и q, т. е.

(P ^ ^ в' то пеРвый интеграл ?/] (х, у, z, р, q) и будет искомым решением уравнения (5.35).

Следовательно, определяя р = р(х, у, z, а) и q = q(x, у, г, а) из системы уравнений

F(x, у, z, р, q) = 0, U1 (х, у, z, р, q) = a

Дифференцируя (5.34) по г и разрешая относительно -^-, будем иметь

D (F, U) I3P.— D (г- ?)

D(p, q) D(F, U)

266 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5

и подставляя в

dz = p(x, у, z, a)dx-\-q(x, у, z, a)dy,

получим интегрируемое одним соотношением уравнение Пфаффа, решая которое, находим полный интеграл исходного уравнения

Ф(дг, у, z, а, Ь) = 0.

Пример 5. Найти полный интеграл уравнения

yzp2 — 9 = 0. (5.37)

Система (5.36) имеет вид

dx _ _ , _ dz _ dp _ dp

2pyz ~ ~~ 2p2yz — q~ УР3 ~ zp2 -+- yp2q '

Воспользовавшись исходным уравнением, упрощаем знаменатель третьего

, dz dp

отношения и получаем интегрируемую комбинацию —^j- = —, откуда

7- (5.38)

а а2 V

Из уравнений (5.37) и (5.38) находим р= —, 9 = —~-, откуда dz =

= ^dx-\- ^-j- dy. Умножая на 2z и интегрируя, находим полный интеграл исходного уравнения z2 = 2ах -f- а2у2 -\- Ь.

Зная полный интеграл Ф(х, у, z, а, Ь) = 0 уравнения F(x, у, z, р, (7) = 0,

можно, вообще говоря, решить основную начальную задачу (см. стр. 242) или даже более общую задачу об определении интегральной поверхности, проходящей через заданную кривую,

X = X(t), y = y(t), z = z(t). (5.39)

Определим функцию b = b(a) так, чтобы огибающая однопара-метрического семейства

Ф(дгГу, z, а, о(а)) = 0, (5.40)

определяемая уравнениями (5.40) и

45-+-3-»»-«- <5-«>

проходила бы через заданную кривую (5.39).

§ 4] НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 267
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed