Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
должен быть равен нулю по любому пути (в том числе и по незамкнутым путям).
Рассмотрим всевозможные вихревые поверхности, т. е. векторные поверхности поля rotF. Очевидно, что в силу теоремы Стокса
j F dr = J j rot F • n da,
C D
где dr = і dx-\- j dy -f-k dz, и интеграл (5.24) по любому замкнутому пути на вихревой поверхности равен нулю (так как скалярное произведение единичного вектора нормали к поверхности п и вектора rotF равно нулю). Выберем теперь среди вихревых поверхностей те, на которых все интегралы
j F dr= j Pdx + Qdy 4-Rdz
L L
по незамкнутым путям также равны нулю. Для построения такой Рис. 5.2. поверхности, проходящей через за-
данную точку M (х0, у0, Z0), проведем через эту точку M какую-нибудь линию, ортогональную векторным линиям поля F. Такие линии определяются уравнением
Pdx + Qdy 4- Rdz = 0, (5.21)
к которому добавлено уравнение произвольной проходящей через точку M поверхности z = f(x,y) (чаще всего уравнение этой поверхности берут в виде Z=Z1(X) или z=f2(y) или даже в виде z = a, где а — постоянная). Подставляя z=f(x, у) в (5.21), получим обыкновенное уравнение вида
Л1(х, y)dx-\-N(x, y)dy = 0,
интегрируя которое и учитывая начальное условие у(х0) = у0, получим искомую кривую /, проходящую через точку M (х0, у0, Z0) и ортогональную векторным линиям (рис. 5.2).
Если эта линия не является линией вихря, то, проводя через каждую точку линии / линию вихря, получим искомую поверхность 5, ортогональную векторным линиям поля F.
Действительно, взяв любую незамкнутую кривую L на поверхности 5 (рис. 5.2) и проведя через ее граничные точки вихревые линии до пересечения с кривой I в точках рх и р2, получим замкнутый контур, состоящий из отрезка линии / между точками P1 и р2, кривой L и двух вихревых линий.
УРАВНЕНИЯ ПФАФФА
259
Криволинейный интеграл J P dx -+- Qdy 4- Rdz. взятый по этому
с
замкнутому контуру С, равен нулю, так как контур лежит на вихревой поверхности, причем тот же интеграл, взятый на отрезке дуги I, и по отрезкам вихревых линий равен нулю, так как дуга I и вихревые линии ортогональны векторным линиям поля F (вихревые линии ортогональны векторным линиям поля F в силу условия
(F • rot F) = 0). Следовательно, интеграл j Pdx 4- Qdy 4-Rdz по про-
i.
извольно выбранному нами незамкнутому пути L равен нулю, т. е. поверхность 5 является интегральной поверхностью уравнения (5.21), проходящей через заданную точку М.
Этот метод доказательства достаточности условия (F- rot F) = О для существования семейства поверхностей, ортогональных векторным линиям поля F, одновременно указывает путь, правда не кратчайший, для нахождения этих поверхностей.
Пример I
г /їх -f (л — у) Jy ~f- гу dz 0.
Условие (F • rot F) = О, где F — z\ + (х — у) j -f yz к. не выполнено, следовательно, рассматриваемое уравнение не интегрируется одним соотношением.
Пример 2.
(6х + уг) dx 4- (XZ — 2у) dy 4- (ху 4- 2z) dz = 0.
Так как rot F = 0, где F = (Qx + yz) і + (хг — 2у) j + (ху + 2z) к, ю F «= grad U, где
(¦*, у, г) ,
U= J (6x+yz)dx4~(xz —2у) dy 4-(xy4~2z) dz.
(0, 0. 0>
В качестве пути интегрирования выбираем ломаную, звенья которой параллельны осям координат. Интегрируя, получаем ?/ = 3.*2— у2 + z2 + хуг, и следовательно, искомым .интегралом является
Зх* — у1 4- г3 + xyz « с.
Пример 3.
уz dx -f- 2xz dy 4- ху dz — 0, F — yzi 4- 2xz) 4г хук, rot F = — xi + гк.
Условие интегрируемости (F rot F) = 0 выполнено. Находим на какой-нибудь поверхности, например на плоскости г = 1, кривые, ортогональные векторным ЛИНИЯМ'
г — I у dx 4- Zx dy = 0, ху2 =» а.
Проводим через кривые семейства г — 1, ху'1 •» а вихревые поверхности, для чего интегрируем систему уравнений вихревых линий
dx ,?v Iz — X 0 г
17'
260 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5
Исключая х, у и г из уравнений 2=1, лгу2 = а, у= C1, xz = с2, получаем C1C2 = а. Следовательно, искомый интеграл исходного уравнения имеет вид лгу22 = а.
Замечание. Другой, обычно применяемый метод интегрирования уравнения Пфаффа
Р(х, у, z) dx 4- Q (х, у, z)dy + R(x, у, z)dz = 0 (5.21)
заключается в том, что временно считают z (или другую переменную) постоянной и интегрируют обыкновенное уравнение
Р(х, у, Z) dx+- Q(x, у, z)dy = Q, (5.25)
в котором z играет роль параметра. Получив интеграл уравнения (5.25)
U(x, у. Z) = C(Z), (5.26)
в котором произвольная постоянная может быть функцией параметра z, подбирают эту функцию с(z) так, чтобы удовлетворялось уравнение (5.21). Дифференцируя (5.26), получим
M-dx + ^dy+[%L-с' (Z)] dz = 0. (5.27)
Коэффициенты при дифференциалах переменных в уравнениях (5.21) и (5.27) должны быть пропорциональными
dU dU dU
~з— -^— —--с (г)
дх__ ду _ dz v '
~~Р~ ~"~Q~ — R •
dU dU
Из уравнения —р—=-^- можно определить с'(z), так как
можно доказать, что при выполнении условия (F- rot F) = O это уравнение содержит лишь z, с'(z) и U (х, у, z)==c(z).
