Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Разрешая систему уравнений Ф, (х, у, и, V) = O и Ф2 (х, у, и, v) = О относительно и и V, получим уравнения двух трехмерных цилиндрических поверхностей и = и(х, у) и v = v(x, у), пересекающихся по той же двухмерной поверхности S, состоящей из векторных линий. Следовательно, найденные функции и = и(х, у) и v = v(x, у) будут решениями исходной системы.
Решение системы (Г), зависящее от двух произвольных функций, можно найти, применяя тот же метод, но взяв первые интегралы системы (Д) в наиболее общем виде:
Ф, (ф, (х, у, и, V), \|)2 (х, у, и, V), ф3 (х, у, и, V)) = 0, \ Ф2 (ф, (х. у. и. V), ф2 (х- У, и, V), фз (х, у, и, V)) = 0, )
где ф| (х, у, и. V), ф2 (х, у, и, V) и фз (х, у, и, v) — независимые первые интегралы системы (Д), а Ф, и Ф2 — произвольные функции (см. стр. 249).
Уравнения (E), если сложные ф)нции Ф, и Ф2 независимы относительно unV, определяют решения и (х, у) и V (х, у) системы (Г) как неявные функции хну, зависящие от выбора произвольных функций Ф, и Ф2.
§ 3. Уравнения Пфаффа
В § 2 мы рассматривали две задачи, естественно возникающие при изучении непрерывного векторного поля
F = P(X, у, z)\ + Q(x, у, z)i + R(x, у, z)k.
Это — задачи о нахождении векторных линий и векторных поверхностей.
Почти так же часто возникает задача о нахождении семейства поверхностей U(x, у, z) = c, ортогональных к векторным линиям. Уравнение таких поверхностей имеет вид (F • t) = 0. где t—вектор, лежащий в касательной плоскости к искомым поверхностям:
t = idxA-}dy + kdz,
или в развернутом виде
Р(х, у, г) dx A-Q(X, у, г) dy A-R(x, у, z)dz = 0. (5.21) Уравнения вида (5.21) называются уравнениями Пфаффа.
256 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5
Если поле F = Pi -J- Qj -J- Rk потенциально: F = grad U. ,, P=«.
то искомыми поверхностями являются поверхности уровня U(x, у, Z)=C потенциальной функции U. В этом случае нахождение искомых поверхностей не представляет затруднений, так как
<•*, У, г)
U= j Pdx + Qdy + R dz,
Ui1 Уо.- го)
где криволинейный интеграл берется по любому пути между выбранной фиксированной точкой (х0, у0, Z0) и точкой с переменными координатами (х, у, г), например, по ломаной, состоящей из прямолинейных отрезков, параллельных осям координат.
Если же поле F не потенциально, то в некоторых случаях можно подобрать скалярный множитель и (х, у, z), после умножения на который вектора F поле становится потенциальным.
Если такой множитель существует, то riF = grad U или
n dU ' dU п OU
и, следовательно,
0(LiP) __ d(\iQ) dy дх
или
дР ду
дг дЯ
дх
д (uQ) _ д (iiR) dz ду
дх ц. \ дх
dR _ 1 ф_
ду [і \ ду
dz ц V dz
dgiR) = d(ixP) dx oz
Умножая первое из этих тождеств на R, второе на Р, третье на Q и складывая почленно все три тождества, получим необходимое условие существования интегрирующего множителя [х:
¦ «(?-&Н'(-?-?М?-?И
или (F-TOtF) = O1 где вектор rot F- вихрь поля—определяется равенством
, D (dR дО\..(дР dR\..(dQ dP\. wlF-(-dy-~-dr)l+[-dz---dF)i +Ы—Wr
Если это условие, называемое условием полной интегрируемости уравнения (5.21), не выполнено, то не существует семейства поверх-
§ 31 УРАВНЕНИЯ ПФАФФА 257
ностей U(х, у, Z) = C ортогональных векторным линиям ПОЛЯ F(x, у, z).
Действительно, если бы такое семейство U (х, у, z) = с существовало, то левая часть уравнения (5.21) могла бы отличаться от
dU , , dU . , dU .
-wdx+-oy-dy+-ordz
лишь некоторым множителем \і(х, у, z), который и был бы интегрирующим множителем уравнения (5.21).
Итак, для существоЪания семейства поверхностей U (х, у, z) = c, ортогональных векторным линиям векторного поля F, необходимо, чтобы векторы F и rot F были бы ортогональны, т. е. (F • rot F) = O.
Замечание. Условие (F • rotF) = 0 называется- также условием интегрируемости уравнения Пфаффа P dx a- Q dy 4- R dz = 0 одним соотношением U(x, у, z) = c
Иногда требуется определить не поверхности, ортогональные векторным линиям поля F, а линии, обладающие тем же свойством, другими словами, надо проинтегрировать уравнение Пфаффа не одним, а двумя соотношениями:
U1(x, у, z) = O и U2(X, у, z) = 0. (5.22)
Для нахождения таких линий можно одно из уравнений (5.22) задать произвольно, например
U1(X, у, z) = 0, (5.23)
и, исключив из уравнения (5.21) с помощью уравнения (5.23) одно из переменных, например z, получим дифференциальное уравнение вида
М(х, y)dx4rN(x, y)dy = 0,
интегрируя которое, найдем искомые линии на произвольно выбранной поверхности LV1(X1 у, z) = 0.
Покажем, что условие (F • rot F) = 0 является не только необходимым, но и достаточным для существования семейства поверхностей, ортогональных векторным линиям.
Заметим, что на искомых поверхностях U (х, у, z) = c должно обращаться в тождество уравнение
Pdx4rQdy4-Rdz = 0
или, что то же самое, на этих поверхностях криволинейный интеграл
f Pdx + Qdy + Rdz ' (5.24)
258 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО' ПОРЯДКА [гл. 5
