Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Эльсгольц Л.Э. -> "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление " -> 80

Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление — Наука, 1969. — 425 c.
Скачать (прямая ссылка): differencialnie-urovneniya.djvu
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 131 >> Следующая


где р — постоянная.

'=1

Решение z уравнения (5.15), зависящее от произвольной функции, определяется из уравнения

M(X1, X2.....хп, Z) = O или Ф(ф1, ф2.....1W = O-

Но, кроме найденных этим способом решений, могут быть решения z, которые определяются из уравнений «(X1, х2.....хл, 2) = 0,

где функция и не является решением уравнения (5.17), а обращает это уравнение в тождество лишь в силу уравнения «(X1, х2, ... хп, z) = 0. Такие решения называются специальными. Специальных решений в некотором смысле не очень много, они не могут образовывать даже однопараметрических семейств.

Действительно, если бы специальные решения образовали одно-параметрическое семейство и определялись уравнением

«(X1, X2.....хп, z) = c, (5.19)

где с—параметр, C0 с ^ C1, то уравнение (5.17) должно было бы обращаться в тождество в силу уравнения (5.19) при любом с. Но так как уравнение (5.17) не содержит с, то оно не может обращаться в тождество в силу уравнения (5.19), содержащего с, и, следовательно, должно быть тождеством по отношению ко всем

переменным X1, X2.....хп, z, меняющимся независимо.

Последнее утверждение допускает простую геометрическую интерпретацию. Говоря, что уравнение (5.17) обращается в тождество в силу уравнения «(X1, х2, x„, 2) = 0, мы утверждаем, что уравнение (5.17) обращается в тождество в точках поверхности и = О, но может не обращаться в тождество в других точках пространства

X1, х2.....хп, z. Если же уравнение (5.17), не содержащее с,

обращается в тождество в силу уравнения и = с, где с—непрерывно меняющийся параметр, то это означает, что уравнение (5.17) обращается в тождество на всех непересекающихся и заполняющих

некоторую часть D пространства X1, х2.....хп, z поверхностях

и = с, с0^.с ^c1 и, следовательно, уравнение (5.17) обращается в тождество в области D при независимо изменяющихся X1, х2, ...

. . ., Xn,. Z.

В конкретных задачах обычно требуется найти решение уравнения (5.15), удовлетворяющее еще каким-нибудь начальным условиям, и так как специальных решений в указанном выше смысле сравнительно мало, то они лишь в совершенно исключительных случаях будут удовлетворять поставленным начальным условиям и поэтому их лишь в редких случаях приходится принимать во внимание.

Пример 6. Проинтегрировать уравнение

л

2 X1 -g- = рж, (5.20)

254 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 5

2.....--<"я-1> -р — СП-

Xn Xn Xn хп

Следовательно, решение z исходного уравнения определяется из уравнения

\хп хп

хп-\ z

x

откуда

— =0,

уР

Z= X^ — , — ,

пГ \Хп г

Итак, решением является произвольная однородная функция р-н степени однородности.

Можно доказать, что уравнение (5.20) не имеет специальных интегралов и, следовательно, теорема Эйлера об однородных функциях обратима — уравнению (5.20) удовлетворяют только однородные функции степени однородности р.

Понятие характеристики распространяется на системы квазилинейных уравнений следующего специального вида:

п/ ч ди . _ ди „ , .

Р(х, у, U, V)-Jx- + Q (Х, у, U, V)-T-= Ri (х, у, и, V),

(Г)

dv dv

Р(х, у, и, V)-Jx-+ Q(x, у, и, V)-Jj= R2 (х, у, и, v).

Характеристиками такой системы называются векторные линии векторного поля в четырехмерном пространстве

F = P (х, у, и, V) і + Q(x, у, и, V)'} + R1 (х, у, и, v) k, + R2 (х, у, и, v) к2,

где i, j, ki, к2 — единичные векторы, направленные соответственно по осям координат Ох, Oy, Ou и Ov.

Характеристики определяются системой уравнений

dx _ dy _ du__dv

P (x, у, и, v) Q (x, у, и, v) R1 (x, у, и, v) R2 (x, у, и, v) ' Система уравнений (Г) в векторной записи имеет вид (F-Ni) = O и (F-N2)=0,

ч ш I ди 0,1 і «\ (dv dv п Л

где Ni и N2-BeKTOpH с координатами y-jr, -jj, — 1, Oj и |д^, 0, — Ij1

направленные по нормалям к искомым трехмерным цилиндрическим поверхностям соответственно и = и(х, у) и V = V(х, у).

Следовательно, с геометрической точки зрения интегрирование системы (Г) сводится к нахождению двух трехмерных цилиндрических поверхностей и = и (х, у), Hv = V (х, у), нормали к которым в точках пересечения этих поверхностей ортогональны к векторным линиям.

Очевидно, что это условие будет выполнено, если двухмерная поверх-

Система уравнений

dxx _ dx2 _ _ dxn _ dz

X\ X2 Xfi pz

имеет следующие независимые интегралы:

JC \ JC 2 ^ JC п і Z

уравнения пфаффа

255

ность S1 по которой, вообще говоря, пересекаются трехмерные цилиндрические поверхности и = и (х, у) и v = v(x, у), будет состоять из векторных линий, так как эти векторные линии будут лежать одновременно на поверхностях и = и(х, у) и v = v(x, у) и, следовательно, будут ортогональны векторам N1 и N2. Взяв какие-нибудь два независимых относительно и и v первых интеграла Ф| (х, у, и, V) = O и Ф2 (х, у, и, v) = 0 системы (Д), другими словами, взяв две трехмерные векторные поверхности, мы, вообще говоря, в их пересечении получим двухмерную поверхность S, состоящую из векторных линий, так как если некоторая точка принадлежит одновременно векторным поверхностям Ф, (х, у, и, V) = 0 и Ф2 (х, у, и, V) = О, то и векторная линия, проходящая через эту точку, лежит в каждой из этих поверхностей.
Предыдущая << 1 .. 74 75 76 77 78 79 < 80 > 81 82 83 84 85 86 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed