Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что Ф(фр ф2.....^n-i) = c- где Ф — произвольная
функция, является первым интегралом системы (5.9), так как вдоль интегральной кривой системы (5.9) все функции фх, ф2, .,.,¦^n-1 обращаются в постоянные, следовательно, и Ф(фх, ф2, .... ф„_і) обращается в постоянную вдоль интегральной кривой ^системы (5.9). Значит, г=Ф(ф1, ф2, ф^), где Ф — произвольная дифференцируемая функция, является решением линейного однородного уравнения (5.8)Г
Докажем, что
Z = (V^1(X1.....хп), %(хх.....Xn).....фя-і(*і. .... Xn))
является общим решением уравнения (5.8).
Теорема 5.2. г = Ф(ф1, ф2.....Фл-і)> где Ф — произвольная
функция, является общим решением уравнения
л
т. е. решением, содержащим все без исключения решения этого уравнения.
Доказательство. Допустим, что z = ф(X1, х2.....Xn)
является некоторым решением уравнения (5.8), и докажем, что существует функция Ф такая, что ф = Ф(ф1, ф2, •••• Фл-і)-
250
уравнения в частных производных первого порядка ггл. 5
Так как ф и Ij)1, ф2.....Ij)n-1 являются решениями уравнения (5.8), то
* = 1
Il
OMp1
' дх,
= 0.
1 = 1
(=1
X1
U^2
UX:
/ = 1
OX1
(5.12)
Рассматривая систему (5.12) как линейную однородную систему п уравнений относительно (/=1,2, ..,,в) и замечая, что эта однородная система в каждой точке X1, х2, .... Xn рассматриваемой области имеет нетривиальное решение, так как X1(X1, х2, .... х„), по предположению, не обращаются в нуль одновременно, приходим к выводу, что определитель этой системы
дір
дір
OX1
дх2
дх„
UL
дЬ
dx,
дх2
дх„
дЬ
дЦ>2
OX1
дх2
дхп
<3х,
дх2
дх„
тождественно равен нулю в рассматриваемой области. Но тождественное обращение в нуль якобиана функций ф, фх, ф2, .... фя_! указывает на наличие функциональной зависимости между этими функциями:
/ЧФ.Фі. Ф2.....Ф„_і)==0. (5.13)
В силу независимости первых интегралов ф^х^ X2.....Xn) = C1
(1=1, 2, п — 1) системы (5.9) по крайней мере один из миноров (п — 1)-го порядка якобиана
Р(Ъ, fi, 4?. 4>д-і) D(x1, х2, х3, Xn)
§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 251
D(xasxa2.....xan_t)
отличен от нуля. Следовательно, уравнение (5.13) можно представить в виде
Ф = Ф(Фі. .....Фя-і)-
Пример 5. Проинтегрировать уравнение
п
S^=0- <5Л4>
( = 1
Система уравнений, определяющая характеристики, имеет вид dx\ _ dxx _ _ dxn
Независимыми первыми интегралами этой системы будут:
X] X2 Xn^i
—у——с1> —Г-=с2.--- ~сп~1-
лп лп лп
Общее решение исходного уравнения
X1 X2 Xn^i
г = Ф
\х„
является произвольной однородной функцией нулевой степени однородности.
Теорема Эйлера об однородных функциях утверждает, что однородные функции нулевой степени однородности удовлетворяют рассматриваемому уравнению (5.14); теперь мы доказали, что только однородные функции нулевой степени однородности обладают этим свойством.
Неоднороднее линейное уравнение первого порядка
п
^,¦(? х2.....хп, Z)-^7 = Z(X1, х2.....хп, г). (5.15)
(=i '
где все X1 и Z — непрерывно дифференцируемые функции, не обращающиеся в нуль одновременно в рассматриваемой области изменения переменных X1, х2, хп, z, интегрируется путем сведения к линейному однородному уравнению.
Для этой цели, так же как и в случае трех переменных, достаточно искать решение z уравнения (5.15) в неявном виде:
U(X1, X2.....хп, z) = 0, (5.16)
где -^- Ф 0.
Действительно, считая, что функция z = z(xv х2, Xn) определена из уравнения (5.16), и дифференцируя тождество
U (X1, X2.....Xn, Z (X1, X2.....хл))==0
вида
О0р„ т|:2, Mpn)
252 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. S
откуда
би du дг _Q
dxi ' dz dXj ' '
du
dz dxi
oxi du
~dz~
Подставляя найденное -—- в (5.15), умножая на —-^- и перенося
все члены в левую часть уравнения, получим однородное линейное уравнение
п
^Xi(X1, X2.....хп, Z) ~ + Z(X1, X2.....х„, z)^ = 0, (5.17)
которому должна удовлетворять функция и, однако лишь в предположении, что z является функцией X1, х2, .... хп, определяемой
уравнением м(хх, X2.....хп, z) = 0.
Итак, надо найти функции и, обращающие линейное однородное уравнение (5.17) в тождество в силу уравнения
M(X1, х2, Xn, Z) = O.
Найдем вначале функции и, обращающие уравнение (5.17) в тождество при независимо меняющихся X1, х2, хп, z. Все такие функции и являются решениями однородного уравнения (5.17) и могут быть найдены уже известным нам способом: составляем систему уравнений, определяющую характеристики
dx\ _ dx2 _
хп, z) ~
л*
(6.18)
Xx (Х|, X2.....хп, z) X2 (Х[, X2.....хп, г)
dx„ dz
(Х{, X2, Xn, Z) Z (Xj, X2, Xn, z)'
находим я независимых первых интегралов этой системы:
Ых1> х2.....хп< ^) = C1,
ф2(х1, X2, Xn, Z) = C2,
ф„(х1, х2, хп, z) — сп; тогда общее решение уравнения (5.17) имеет вид
где Ф — произвольная функция.
по X1, получим
§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 253
