Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 1. Определить зависящий от произвольной функции интеграл уравнения
dz _j
dx dy ~ '
Составляем вспомогательную систему уравнений
dx = dy = dz.
Ее первые интегралы имеют вид х — у = C1, z — х=с2. Интеграл исходного уравнения Ф(х—у, z — х) = 0, где Ф — произвольная функция, или в разрешенном относительно z виде г = х-(-ф(х — у), где ф — произвольная дифференцируемая функция.
Пример 2. Найти интегральную поверхность уравнения
dz dz . X —--у -—- = 0,
dy J dx
проходящую через кривую X = O, Z = у2. Интегрируем систему уравнений
dx _ dy __ dz — у ~~~!Г'
откуда Z = C1, x2-fy2 = c2. Исключая х, у и z из уравнений
X2 + У2 = с2> Z = C1, х = 0, г = у2,
получаем C1 = с2, откуда z = х2 -\- у2.
§ 21 ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 247
Пример 3. Найти интегральную поверхность того же уравнения
dz dz „
X -г--у = О,
ду J дх
проходящую через окружность
г=1, X2 + у2 =4. (5.7)
Так как заданная линия (5.7) является векторной линией (характеристикой), то задача неопределенна. Действительно, интегральными поверхностями рассматриваемого уравнения являются всевозможные поверхности вращения z = Ф (X2 + у2), ось вращения которых совпадает с осью Oz. Очевидно, существует бесконечное множество таких поверхностей вращения, проходящих через окружность (5.7), например параболоиды вращения z = = X2 + у2—3, 4* = х2 + у2, z = — х2—у2 + 5, сфера х2 + у2 -f z2 = 5 и т. д.
Если уравнение кривой, через которую требуется провести интегральную поверхность уравнения (5.I1) дано в параметрической форме:
X0 = Xt(S), y0 = y0(s), Z0 = Z0(S), (Б)
то обычно и решение удобно искать в параметрической форме:
X = X (t, s), у = у (t, S), Z = Z (t, S). В систему (5.5), определяющую характеристики, вводим параметр t. полагая
dx - аУ - dz dt
P (х, y,z)~ Q (х, у,г)~ R (х. у, z) ~ к°л"
Для того чтобы характеристики проходили через заданную кривую, ищем решение системы (5.5]), удовлетворяющее при Z = O (или t = t0) начальным условиям:
х = х0 (s), у = уо (s), z = z0 (S).
При таких начальных условиях при фиксированном s получим характеристику, проходящую через фиксированную точку кривой (Б). При переменном s получим семейство характеристик
X = x(t, S), у = у (/, S), Z = Z (/, S), (В)
проходящих через точки заданной кривой (Б) (при этом предполагается, что заданная кривая (Б) не является характеристикой). Множество точек, лежащих на этом семействе характеристик (В), и образует искомую интегральную поверхность.
Пример 4.
dz dz _j
дх dy ~
Найти интегральную поверхность, проходящую через кривую х0 = s,
Уо = s2. Z0 = s3.
Система уравнений, определяющая характеристики, имеет вид dx = — dy = dz =' dt.
Ее общее решение
X = t+ CU у = —Z+C2, Z= / + C3.
Пользуясь начальными условиями, определяем произвольные постоянные и окончательно получаем
x=t + s, y = —t + s2, z = t + s*.
248
уравнения в частных производных первого порядка [гл. S
Перейдем теперь к случаю я независимых переменных. Естественно ожидать, что указанная выше для трехмерного случая схема решения может быть распространена и на (я -f- 1)-мерный случай.
Начнем с исследования однородного линейного уравнения
X1(X1, X2, Xn)~fix~i \~ X2(X1, X2, хп)~^--\-...
... -f Xn(X1, х2, .... хп)-^- = 0, (5.8)
где непрерывные функции X1(X1, х2, Xn) не обращаются в нуль одновременно ни в одной точке рассматриваемой' области и имеют в той же области ограниченные частные производные. Составляем вспомогательную систему уравнений
_aXj '___dx2 _ ^ __ ¦ dx„ g)
Х\ (хи х2, ..., хп) X2 (xt, х2, ..., хп) Xn (X1, X2.....хп)'
которая при указанных выше ограничениях удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.
Находим я — 1 независимый первый интеграл системы (5.9):
Фі(*і, х2.....Xn) = C1,
Ф2(Хр X2, Xn) = C2,
tyn-l(x\> х2.....хп) — сп-\-
В пространстве с координатами X1, X2.....хп эта система интегралов определяет (я—1)-параметрическое семейство линий, называемых характеристиками уравнения (5.8). Докажем, что левая
часть любого первого интеграла ф(х}, X2.....Xn) = с системы (5.9)
является решением исходного линейного однородного уравнения' в частных производных (5.8).
Действительно, вдоль любой интегральной кривой системы (5.9) функция ф===с. Следовательно, вдоль любой интегральной кривой
п
d^ = ^i§;dxt = 0. (5.10)
Но вдоль интегральной кривой системы (5.9) дифференциалы dxt пропорциональны функциям X1, следовательно, в силу однородности относительно dxt левой части тождества
ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
249
дифференциалы dxt могут быть заменены пропорциональными им величинами X1, при этом получим, что вдоль интегральных кривых системы (5.9)
" ?Х,шО. (5.П,
/=1
Интегральные кривые системы (5.9) проходят через каждую точку рассматриваемой области изменения переменных xv х2, ..., Xn и левая часть тождества (5.11) не зависит от постоянных c1, с2<, • • •. сп_{ и, следовательно, не меняется при переходе от одной интегральной кривой к другой, значит, тождество (5.11) справедливо не только вдоль некоторой интегральной кривой, но и во всей рассматриваемой области изменения переменных jc1, х2, . • •, хп, а это и означает, что функция ф является решением исходного уравнения
