Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
x = Зу — 2х 4- е', у =5х —4у4-2.
16. Исследовать на устойчивость тривиальное решение уравнения
х'4-2х4- 3x4-7sh х = 0
17. Исследовать на устойчивость тривиалмюе решение уравнения
x 4- (а — 1) x4- (4 — а2) х -О.
где а — параметр.
18. Устойчиво ли решение хе=0, у^О системы
x = Зу — x3, у = — 4х — Зу5 ари постоянно действующих возмущениях.
240 теория устойчивости [гл. і
19. Устойчиво ли тривиальное решение системы
X(t) = AX (t),
где X (t) — вектор в трехмерном пространстве, а
Л 2 Ox A= 0 1 1 . Vl 3 1/
20. Исследовать на устойчивость решения уравнения
х A- Ax А- Ьх = t.
21. Исследовать на устойчивость решения уравнения
X A-Qx= sin f.
22. X-\-х = cost. Найти периодическое решение и исследовать его на устойчивость.
23. Найти область устойчивости
X А- ах A-(I — а) X = 0.
24. X А- X A- 0.2Jc А- 5ах = 0. Найти область устойчивости.
ГЛАВА 5
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. Основные понятия
Как уже отмечалось во введении (стр. 10), дифференциальными уравнениями в частных производных называются дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции являются функциями более чем одной независимой переменной.
Очень многие физические явления описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Уравнение
/ ди \2 / ди Y . I ди\2
описывает распространение световых лучей в неоднородной среде с показателем преломления п(х, у, z)\ уравнение
ди _ 2 д2и
~ЬТ~~а Tx2
описывает изменение температуры стержня; уравнение
д2и _ 2 O2U1 Ot2 —а дх2
является уравнением колебания струны; уравнению Лапласа
д2и , дЧ_ д2и _ „ дх2 "і ду2 dz2
удовлетворяет потенциал поля в областях, не содержащих зарядов, и т. д.
В этой главе мы кратко рассмотрим лишь методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, теория которых тесно связана с интегрированием некоторых систем обыкновенных уравнений.
Уравнениям в частных производных более высокого порядка, интегрирующимся" совсем иными методами, посвящается отдельная книга серии.
16 Л, Э. Эльсгольц
242
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
(ГЛ. 8
Рассмотрим несколько простейших примеров. Пример 1.
Интегрируя по х, получаем
Xі
г {х, у) = ху + -j + Ф (У).
где ф (у) — произвольная функция у. Пример 2.
dz
Интегрируя по х, получаем -^y = ф (у), где ф (у) — произвольная функция у. Интегрируя теперь по у, получим
окончательно будем иметь
z(x, у) = ф, (х) + ф2(у).
где ф2 (у), в силу произвольности функции ф (у), тоже является произвольной дифференцируемой функцией у.
Приведенные примеры наводят на мысль, что общее решение дифференциального уравнения в частных производных первого порядка зависит от одной произвольной функции, общее решение уравнения второго порядка зависит от двух произвольных функций, а общее решение уравнения р-го порядка, вероятно, зависит от р произвольных функций.
Эти предположения оказываются справедливыми, но нуждаются в уточнении. Для их уточнения сформулируем теорему С. В. Ковалевской о существовании и единственности решения уравнения в частных производных.
Теорема 5.1 (теорема Ковалевской). Существует единственное аналитическое в окрестности точки х10, х20, .... хп0 решение уравнения, разрешенного относительно одной из производных максимального порядка
где Фі (х) — произвольная функция х. Или, обозначая
f[ Xj1 X2, • • • і Xn, Z,
dz a2z dx,' ax\
д"-1z dz oxf-1 ' dx2 '
(A)
§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 243
дх, op-1Z
дхр
если функции ф0, фі, . ...фр.] являются аналитическими функциями в окрестности начальной точки х20> х30, хл0, a f является аналитической функцией в окрестности начальных значений своих аргументов х10, х20, хп0, Z0 =
— Фо (х20' -*?' • • • > хпо)'
Решение определяется заданием начальных функций ср0, ф^ ... . .., Фр_і. произвольно меняя которые в классе аналитических функций, мы получим совокупность аналитических решений исходного уравнения (А), зависящую от р произвольных функций.
Доказательство этой теоремы, требующее применения теории аналитических функций, мы опускаем.
§ 2. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка
Линейным неоднородным уравнением или квазилинейным уравнением первого порядка в частных производных называется уравнение вида
X1(X1, X2.....хп, z) ¦^+ X2(Xx, X2.....хп, z)j^-+...
dz
• •• +Xn(X1, X2,..., хп, z)j^ = Z(xx, X2.....хп, z). (5.1)
Это уравнение линейно относительно производных, но может быть нелинейным относительно неизвестной функции Z.
Если правая часть тождественно равна нулю, а коэффициенты X1 не зависят от z, то уравнение (5.1) называется линейным однородным.
Для большей наглядности геометрической интерпретации рассмотрим вначале квазилинейное уравнение с двумя независимыми переменными:
Р(х, у. z)j^ + Q(x, у, z)^-=R(x, у, z). (5.I1)
Функции Р, Q и R будем считать непрерывными в рассматриваемой области изменения переменных и не обращающимися в нуль одновременно.
