Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Эльсгольц Л.Э. -> "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление " -> 75

Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление — Наука, 1969. — 425 c.
Скачать (прямая ссылка): differencialnie-urovneniya.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 131 >> Следующая


в нуль лишь в начале координат, то тривиальное решение системы (4.30) устойчиво по отношению к постоянно действующим возмущениям.

Доказательство. Заметим, что в силу ограниченности произ-dv

водных -т— (S=I1 2.....п) функция V равномерно по отношению

OX3

л

к / при t^t0 стремится к нулю при 2 xf~*О- так как по теореме о среднем значении v(t, X1, х2, Xn) = 2 ("Jx"") х'' где

/ OV

§ 7] УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОСТОЯННО ДЕЙСТВУЮЩИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ 23?

следовательно, на поверхности уровня v(t, X1, X2.....Xn) = I при

любом C^t0 производная

п п

dV * i V * f i V * d / a^o

-W=Hr+L -щ;f' + Ii ST1 R> < ~k < °-

/=] /=1

n

если 1 R2 < oi, oi > 0, где O1 достаточно мало. Траектория, опре-i=i

деляемая начальной точкой xt(t0) = xi0 (i=\, 2, .... п), лежащей в указанной выше о2-окрестности начала координат, не может при t^>t0 выйти за пределы е-окрестности начала координат, так как, в силу выбора o2, v(t0, х10, X20,'..., хп0) < /, и следовательно, если бы при t~^>t0 траектория выходила за пределы е-окрестности начала координат или хотя бы за пределы поверхности уровня W1 = I3 то она должна была бы при некотором значении } = Т

первый раз пересечь поверхность уровня v(t, X1, X2.....Xn) = 1,

причем в окрестности точки пересечения вдоль траектории функция V должна была бы возрастать, что противоречит условию dv - . . г,

-jj 4—«< 0 вдоль траектории в точках поверхности уровня

V (t, X1, X2, . . . , Xn) = I.

Сравнивая условия теоремы Малкина с условиями теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости (см. замечание на стр. 218), увидим, что они почти совпадают; дополнительным в теореме Малкина является лишь требование ограниченности производных

0%}

-—(S= 1, 2.....п), так что асимптотическая устойчивость и устой-

OX5

чивость по отношению к постоянно действующим возмущениям являются, хотя и не совпадающими, но весьма близкими свойствами.

Пример 1. Устойчиво ли по отношению к постоянно действующим возмущениям тривиальное решение х = 0, у = 0 системы уравнений

dx , ,

4L = -рХ-у»,

где а и Ь — постоянные.

Функцией Ляпунова, удовлетворяющей всем условиям теоремы Малкина, является V = 62х2 -f- а2у2.

Следовательно, точка покоя х = 0, у = 0 устойчива но отношению к постоянно действующим возмущениям.

Пример 2. Устойчива ли точка покоя л:;=з0 (і = 1, 2.....п) системы

п

Чг =Sаі,Хі+Ri (t> Хь х*.....Хп) (< = 1'2.....п) (4-32)

»

238 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ [ГЛ. 4

Задачи к главе 4

1. Исследовать на устойчивость точку покоя х = 0, у = 0 системы

^ = _2х_3у + ^

2. Исследовать на устойчивость точку покоя х = 0, у = 0. г = О системы

dx dy dz с

3. При каких значениях а точка покоя л; = 0, у = 0, z — 0 системы

dx dy dz » ->

—jj = ах — у, —= ay — z, -jjj- = az — x устойчива?

4. При каких значениях а система

dx , *

-L — x-уь

имеет устойчивую точку покоя х = О, у = 0?

5. К какому пределу стремится решение дифференциального уравнения

u-ji =(х2 + /2 —4)(х2 + /2 —9), x(I)=I

при [і->0, [і > 0, / > 1?

6. К какому пределу стремится решение дифференциального уравнения

dx

ц-|~ = х —/ + 5, х(2) = 5 при 0, ц>0, t > 2?

по отношению к постоянно действующим возмущениям, если все ац — постоянные, a Ri удовлетворяют условиям теоремы Ляпунова, стр. 221, т. е-

I Ri К N { л2 ) , a > О, N — постоянная, и все корни характеристиче-

ского уравнения для системы первого приближения различны и отрицательны.

На стр. 223 после замены переменных, приводившей линейные части уравнения (4.32) к каноническому виду, была указана функция Ляпунова

п

f=2 J;. удовлетворяющая всем условиям теоремы Малкина, "следо-j=i

вательно, точка покоя хг = 0 (/=1,2.....п) устойчива по отношению

к постоянно действующим возмущениям.

Тот же результат можно получить, предположив, что действительные части всех корней характеристического уравнения, среди которых могут быть и кратные, отрицательны, но только в этом случае подбор функции Ляпунова значительно усложняется.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 4 239

7. Исследовать на устойчивость точку покоя х = 0, у = 0 системы уравнений

dx . ¦ „

-jr- = X 4- еу — cos у,

-Ц-=Зх —y — siny.

8. Устойчиво ли по отношению к постоянно действующим возмущениям решение X = 0, у = 0 системы уравнений

<й У '

9. Устойчиво ли решение Xs=Q уравнения

"х + 5х 4-2x4-20 = О?

10. Устойчиво ли решение X== 0 уравнения

X -j- 5х + 6х + x = О?

11. Какого типа точку покоя х=0, у = 0 имеет система уравнений

dx . „ dy г .

12. Определить периодическое решение уравнения х -\- 2х -f 2х = sin t и исследовать его на устойчивость.

13. X -j- 2х -j- Зх -f- Зх = cos t. Устойчиво ли периодическое решение этого уравнения.

14. Исследовать на устойчивость точку покоя х==0, y=u системы

x = у3 4- x5, у = x3 4- У5-

15. Исследовать на устойчивость решения системы уравнений
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed