Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
в нуль лишь в начале координат, то тривиальное решение системы (4.30) устойчиво по отношению к постоянно действующим возмущениям.
Доказательство. Заметим, что в силу ограниченности произ-dv
водных -т— (S=I1 2.....п) функция V равномерно по отношению
OX3
л
к / при t^t0 стремится к нулю при 2 xf~*О- так как по теореме о среднем значении v(t, X1, х2, Xn) = 2 ("Jx"") х'' где
/ OV
§ 7] УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОСТОЯННО ДЕЙСТВУЮЩИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ 23?
следовательно, на поверхности уровня v(t, X1, X2.....Xn) = I при
любом C^t0 производная
п п
dV * i V * f i V * d / a^o
-W=Hr+L -щ;f' + Ii ST1 R> < ~k < °-
/=] /=1
n
если 1 R2 < oi, oi > 0, где O1 достаточно мало. Траектория, опре-i=i
деляемая начальной точкой xt(t0) = xi0 (i=\, 2, .... п), лежащей в указанной выше о2-окрестности начала координат, не может при t^>t0 выйти за пределы е-окрестности начала координат, так как, в силу выбора o2, v(t0, х10, X20,'..., хп0) < /, и следовательно, если бы при t~^>t0 траектория выходила за пределы е-окрестности начала координат или хотя бы за пределы поверхности уровня W1 = I3 то она должна была бы при некотором значении } = Т
первый раз пересечь поверхность уровня v(t, X1, X2.....Xn) = 1,
причем в окрестности точки пересечения вдоль траектории функция V должна была бы возрастать, что противоречит условию dv - . . г,
-jj 4—«< 0 вдоль траектории в точках поверхности уровня
V (t, X1, X2, . . . , Xn) = I.
Сравнивая условия теоремы Малкина с условиями теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости (см. замечание на стр. 218), увидим, что они почти совпадают; дополнительным в теореме Малкина является лишь требование ограниченности производных
0%}
-—(S= 1, 2.....п), так что асимптотическая устойчивость и устой-
OX5
чивость по отношению к постоянно действующим возмущениям являются, хотя и не совпадающими, но весьма близкими свойствами.
Пример 1. Устойчиво ли по отношению к постоянно действующим возмущениям тривиальное решение х = 0, у = 0 системы уравнений
dx , ,
4L = -рХ-у»,
где а и Ь — постоянные.
Функцией Ляпунова, удовлетворяющей всем условиям теоремы Малкина, является V = 62х2 -f- а2у2.
Следовательно, точка покоя х = 0, у = 0 устойчива но отношению к постоянно действующим возмущениям.
Пример 2. Устойчива ли точка покоя л:;=з0 (і = 1, 2.....п) системы
п
Чг =Sаі,Хі+Ri (t> Хь х*.....Хп) (< = 1'2.....п) (4-32)
»
238 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ [ГЛ. 4
Задачи к главе 4
1. Исследовать на устойчивость точку покоя х = 0, у = 0 системы
^ = _2х_3у + ^
2. Исследовать на устойчивость точку покоя х = 0, у = 0. г = О системы
dx dy dz с
3. При каких значениях а точка покоя л; = 0, у = 0, z — 0 системы
dx dy dz » ->
—jj = ах — у, —= ay — z, -jjj- = az — x устойчива?
4. При каких значениях а система
dx , *
-L — x-уь
имеет устойчивую точку покоя х = О, у = 0?
5. К какому пределу стремится решение дифференциального уравнения
u-ji =(х2 + /2 —4)(х2 + /2 —9), x(I)=I
при [і->0, [і > 0, / > 1?
6. К какому пределу стремится решение дифференциального уравнения
dx
ц-|~ = х —/ + 5, х(2) = 5 при 0, ц>0, t > 2?
по отношению к постоянно действующим возмущениям, если все ац — постоянные, a Ri удовлетворяют условиям теоремы Ляпунова, стр. 221, т. е-
I Ri К N { л2 ) , a > О, N — постоянная, и все корни характеристиче-
ского уравнения для системы первого приближения различны и отрицательны.
На стр. 223 после замены переменных, приводившей линейные части уравнения (4.32) к каноническому виду, была указана функция Ляпунова
п
f=2 J;. удовлетворяющая всем условиям теоремы Малкина, "следо-j=i
вательно, точка покоя хг = 0 (/=1,2.....п) устойчива по отношению
к постоянно действующим возмущениям.
Тот же результат можно получить, предположив, что действительные части всех корней характеристического уравнения, среди которых могут быть и кратные, отрицательны, но только в этом случае подбор функции Ляпунова значительно усложняется.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 4 239
7. Исследовать на устойчивость точку покоя х = 0, у = 0 системы уравнений
dx . ¦ „
-jr- = X 4- еу — cos у,
-Ц-=Зх —y — siny.
8. Устойчиво ли по отношению к постоянно действующим возмущениям решение X = 0, у = 0 системы уравнений
<й У '
9. Устойчиво ли решение Xs=Q уравнения
"х + 5х 4-2x4-20 = О?
10. Устойчиво ли решение X== 0 уравнения
X -j- 5х + 6х + x = О?
11. Какого типа точку покоя х=0, у = 0 имеет система уравнений
dx . „ dy г .
12. Определить периодическое решение уравнения х -\- 2х -f 2х = sin t и исследовать его на устойчивость.
13. X -j- 2х -j- Зх -f- Зх = cos t. Устойчиво ли периодическое решение этого уравнения.
14. Исследовать на устойчивость точку покоя х==0, y=u системы
x = у3 4- x5, у = x3 4- У5-
15. Исследовать на устойчивость решения системы уравнений