Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 3. Тот же вопрос для решения уравнения V-Jf = х(Р — X+ 1), [x > 0, X(ta) = х0.
. Из двух решений х = 0 и х = Р-\-\ вырожденного уравнения
дх W —.X -4- 1)
X CP — X + 1) = 0 первое неустойчиво, так как —1—т-¦—- =
ох х=0
дх (P_л: +1) I
= Р-\-\> 0, а второе устойчиво, так как—і—^—' = — P—1 < 0.
Если начальная точка (t0, X0) лежит в верхней полуплоскости х > 0, то интегральная кривая исходного уравнения при ц.->-0 приближается к графику решения х = Р-\-\ вырожденного. уравнения (рис. 4.23) и остается в его окрестности.
Если же начальная точка лежит в нижней полуплоскости х < 0, то Hm X (t, u) = — оо при t > t0 (рис. 4.23).
Вопрос о зависимости решения от малого коэффициента [і при старшей производной возникает и для уравнений «-го порядка
р,х{п) (і) =/V, х, х, х, ..... х{п'1)),
и для систем дифференциальных уравнений.
Уравнение и-го порядка может быть обычным способом (см. стр. 85) сведено к системе уравнений первого порядка, и следовательно, основная задача заключается в исследовании систем уравнений первого порядка с одним или несколькими малыми коэффициентами при производных. Эта задача подробно исследована А. Н. Тихоновым [4] и А. Б. Васильевой.
§ 7. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях
Если исследуемая система уравнений
~^ = fi(t, X1, X2.....хп), X1Vo)=X10 (4.30)
V=I, 2.....я)
подвергается малым кратковременным возмущениям, то систему (4.30) на малом интервале изменения t, t0 ^ t ^ t0, следует заменить возмущенной системой
~dt=z^1^' Xl' х<і.....хп)-\- Rt(t, X1, x2, xn), 1
_ _ >(4.31)
XiVo)=X1V0) V=I, 2.....я), J
§ 7] УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОСТОЯННО ДЕЙСТВУЮЩИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ 235
но уже с несколько измененными начальными значениями в точке
70. X1(To) = X1(I0)ArOi (/= 1, 2.....п), где Xi(t) (/=1,2.....п) —
исследуемое решение системы (4.30), а все малы по модулю при малых \Rt\ в силу теоремы о непрерывной зависимости решения от параметра (рис. 4.24).
Следовательно, действие кратковременных возмущений в конечном счете сводится к возмущениям начальных значений, а вопрос об устойчивости по отношению к таким кратковременным или, как их часто называют, мгновенным возмущениям сводится к рассмотренному выше вопросу об устойчивости в смысле А. М. Ляпунова.
Если же возмущения действуют постоянно, то система (4.30) должна быть заменена системой (4.31) для всех />-/„ и возникает совершенно новая задача об устойчивости при постоянно действующих возмущениях, и Г. Н. Дубошиным.
Так же как при исследовании на устойчивость в смысле А. М. Ляпунова, можно заменой переменных хг = уг—9(U) (/=1, 2.....п)
преобразовать исследуемое решение у. = фг(/) (/=1,-2, .... п) dy,
системы —~ = Ф(- (/, yv у2, . • •, у„) U = 1, 2, . .., п) в тривиальное
решение х; = 0 (/=1, 2, п) преобразованной системы. Поэтому в дальнейшем можно считать, что на устойчивость при постоянно действующих возмущениях исследуется тривиальное решение X1- —0
(/=1, 2.....п) системы уравнений (4.30).
Тривиальное решение системы (4.30) называется устойчивым по отношению к постоянно действующим возмущениям, если для каждого є > 0 можно подобрать O1 > 0 и O2 > 0 такие, что из нера-
п п
венств 2 $ < O? ПРИ * to и ^ X2Q < O2 следует, что
Рис. 4.24.
исследованная И. Г. Малкиным
2*?(0<е2 при />/0,
где X;U) (/=1, 2, п) решение системы (4.31), определяемое
начальными условиями X1H0) = xi0 (I =\, 2.....п).
Теорема 4.7 (теорема Малкина). Если для системы уравнений (4.30) существует дифференцируемая функция Ляпунова
236 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ [ГЛ. 4
\дх } ^ производные, вычисленные для некоторых промежуточных
между 0 и X1 (I = 1, 2, ..., п) значений аргументов X1, х2.....х„.
Заметим также, что вне некоторой 6-окрестности начала координат
^т. е. при 2 х\ > б2 > O^ и при t^-tQ в силу условий 2) и 3)
производная
л п
dv dv . \Л dv , , Vi dv п - .^n
i=\ i=\
при достаточно малых по модулю R1 (/=1, 2.....п).
Зададим е>0 и выберем какую-нибудь поверхность уровня (или одну из ее компонент) W1=I, I > 0, целиком лежащую в е-окрестности начала координат.
Подвижная при переменном t 10 поверхность уровня v(t, X1, X2.....Xn) = I, в силу условия 1), лежит внутри поверхности уровня W1=I и в то же время, в силу равномерного по t
л
стремления к нулю функции V при 2*2—*"0- лежит вне
(' = 1
некоторой 62-окрестности начала координат, в которой v < /, и,
v(t, X1, X2.....хл), удовлетворяющая в окрестности начала
координат при t^t0 следующим условиям:
1) V (t, X1, X2.....Xn)^w1(X1, X2.....Xn) > 0, v(t, О, 0.....O)=O1
где W1 — непрерывная функция, обращающаяся в нуль лишь в начале координат;
2) производные -т— (S= 1, 2.....п) ограничены по модулю;
oxs
л
3) производная ^ = -^ + ^ /; <—Щ(хи х2.....х„) <0,
t=\ '
где непрерывная функция W2(X1, X2.....Xn) может обращаться
