Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Стрелками показано поле направлений касательных к интегральным кривым при достаточно малом ц. Поле направлений устремлено к графику корня вырожденного уравнения. Поэтому каковы бы ни
были начальные значения х(/0) = х0, интегральная кривая, определяемая этими начальными значениями, будучи почти параллельной оси Ох, устремляется к графику корня вырожденного уравнения и при возрастании t уже не может покинуть окрестность этого графика. Следовательно, в этом случае при t 1-, > t0 при достаточно малом р. можно приближенно заменять решение x{t, ц) уравнения (4.28) решением вырожденного уравнения. В рассмотренном случае решение х = ф(0 вырожденного уравнения называется устойчивым.
Рассмотрим случай б)—знак функции f(t, х) при переходе через график решения x = (p(t) вырожденного уравнения с возрастанием X при фиксированном t изменяется с — на -f-. На рис. 4.19 изображено поле направлений, касательных к интегральным кривым при достаточно малом ц. В этом случае очевидно, что каковы бы ни были начальные значения х {t0) = х0, удовлетворяющие лишь условию f{t0, х0)фО, интегральная кривая, определяемая этими значениями, при достаточно малом (і, имея почти параллельную оси Ox касательную, удаляется от графика решения x = (p(t) вырожденного уравнения. В этом случае решение X = <р(/) уравнения (4.29) называется неустойчивым. В неустойчивом случае нельзя заменять решение X = X if, \х) исходного уравнения решением вырожденного
S
t
Рис. 4.18.
Рис. 4.19.
I
232 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ [ГЛ. А
, dx
уравнения, другими словами, нельзя пренебречь членом р -^- в уравне-
dx
нии M-^-ZC- х)' как бы мало р ни было.
Возможен еще третий, так называемый полуустойчивый, случай в): знак функции /(/, х) при переходе через график решения вырожденного уравнения не изменяется. На рис. 4.20 изображено поле направлений в случае полуустойчивого решения х = ф(/).
В полуустойчивом случае, как правило, тоже нельзя приближенно заменять решение исходного уравнения x = x(t, р) решением вырожденного уравнения, так как, во-первых, интегральные кривые, определяемые начальными значениями, лежащими с одной стороны от графика решения x = q>(t), удаляются от этого-графика, во-вторых, интегральные кривые, приближающиеся к графику решения х = ф(/), могут перейти через него на неустойчивую сторону (рис. 4.20) и после этого уда-Рис. 4.20. литься от графика решения
лг = ф(г). Наконец, если даже интегральная кривая x = x(t, р) остается в окрестности графика решения с его устойчивой стороны, то неизбежные в практических задачах возмущения могут перебросить график решения х = х (t, р) на неустойчивую сторону графика решения вырожденного уравнения, после чего интегральная кривая x = x(t, р) удалится от графика решения x = q>(t).
Заметим, что если на графике решения вырожденного уравнения
< 0, то заведомо решение х=ф(/) устойчиво; если же -^- > 0,
то решение x = q>(t) неустойчиво, так как в первом случаев окрестности кривой х = ф(/) функция / убывает с возрастанием х и, следовательно, меняет знак с -4- на —, а во втором случае возрастает с возрастанием х и, значит, при переходе через график решения x = (f(t) функция / меняет знак с — на -4-.
ЕСЛИ вырожденное уравнение ИМееТ НеСКОЛЬКО решений X = ф; (/),
то каждое из них должно быть исследовано на устойчивость, причем в зависимости от выбора начальных значений интегральные кривые исходного уравнения могут вести себя при р —> 0 различно. Например, в изображенном на рис. 4.21 случае трех решений x = yt(t) (/=1, 2, 3) вырожденного уравнения, графики которых не пересекаются, решения x = x(t, р), р > 0, исходного уравнения, опреде-
§ 6]
случаи малого коэффициента
233
ляемые начальными точками, лежащими выше графика функции x=S(p2(t), стремятся при />/0 и [і->0 к устойчивому решению вырожденного уравнения х = ц>х(і), а решения x = x(t, ?), определяемые начальными точками, лежащими ниже графика функции лг = ф2(0> стремятся при t > t0 и р -> 0 к устойчивому решению л; = фз(/) вырожденного уравнения (рис. 4.21).
Пример 1. Выяснить,
стремится ли решение
х = х (t, ja) уравнения dx
ц-^- =x — t, ц > 0, удов-
Шинній
* f -
U
летворяющее начальным условиям X (t0) = x0 к решению вырожденного уравнения X — t = 0 при t > t0 и ц->-0. Рис. 4.21.
Решение X = X (t, ц) не стремится к решению вырожденного уравнения X = t, так как решение вырожденного уравнения
неустойчиво, потому что d (х ^ = і > о (рис. 4.22).
\ *
о
Рис. 4.22.
Рис. 4.23.
Пример 2. Тот же вопрос для уравнения
dx Ж
: sin21 — Зех.
как
Решение вырожденного уравнения х = 2 In j sin t\—In 3 устойчиво, так d(sin^**) ——3е-г<0. Следовательно, решение исходного уравнения
234 теория устойчивости [гл. 4
где все RiV, X1, х2, .... Xn) малы по модулю, а затем при t^t0 возмущения прекращаются, и мы снова возвращаемся к системе(4.30)i
х=х (t, и) стремится к решению вырожденного уравнения для t > t0 при ц -> 0.
