Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. 4
с действительными 1 коэффициентами является положительность всех главных диагональных миноров матрицы Гурвица
1
0
0 .
.. 0
а2
1 .
.. 0
аь
аЛ
а3
а2 .
а-,
Ч
аь
u4 .
0
0
0
0 .
По главной диагонали матрицы Гурвица стоят коэффициенты рассматриваемого многочлена в порядке их нумерации, начиная с U1 до ап. Столбцы состоят поочередно из коэффициентов только с нечетными или только с четными индексами, включая и коэффициент u0 = 1, следовательно, элемент матрицы b(A = a2l_k. Все недостающие коэффициенты, т. е. коэффициенты с индексами, большими п или меньшими 0, заменяются нулями.
Обозначим главные диагональные миноры матрицы Гурвица:
A1= Ia1
A2 =
а, а9
o1
1
0
а3
а2
o1
і
аь
-а4
Ux
1
0
К
а3
а2
o1
=
а4
а3
0
0
0
Заметим, что так как An = An-1on, то последнее из условий Гурвица A1 > О, A2 > 0, ..., An > 0 может быть заменено требованием ап > 0 *).
Применим теорему Гурвица к многочленам второй, третьей и четвертой степени.
a) z2-A-axz-\-а2:
Условия Гурвица сводятся к ах > 0, а2 > 0. Эти неравенства в пространстве коэффициентов ах и а2 определяют первую четверть (рис. 4.16). На рис. 4.16 изображена область асимптотической устойчивости тривиального решения некоторой системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющей условиям теоремы 4.1, если z2-\-alz-4ra2 является ее характеристическим многочленом.
*) Заметим, что из условий Гурвица следует, что все at > 0, однако положительность всех коэффициентов недостаточна для того, чтобы действительные части всех корней были бы отрицательными.
§ 5] ПРИЗНАКИ ОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧАСТЕЙ 229
б) г3 -f- axz2 -f- a2z + а3.
Условия Гурвица сводятся к ах > 0, аха2 — а3 > 0, U3 > 0. Область, определяемая этим неравенством в пространстве коэффициентов, изображена на рис. 4.17.
в) z4 -4- O1Z3 -+- а222 -4- а3г -4- а4. Условия Гурвица сводятся к
O1 > 0, O1O2 — а3 > 0, (^1O2 — O3) а3 — UiO4 > 0, O4 > 0.
Для рассмотренных многочленов условия Гурвица очень удобны и легко проверяемы, однако с возрастанием степени многочлена
Рис. 4.16. Рис. 4.17.
менять другие признаки отрицательности действительных частей корней многочлена.
Пример. При каких значениях параметра а тривиальное решение X1 =0, X2 = 0, X3 = 0 системы дифференциальных уравнений
dx\
—*з>
dx,
dt
•3X1,
dx*
dt
'• CtX1 -\- 2x2 — Хз
асимптотически устойчиво?
Характеристическое уравнение имеет вид
0 1
— k 0 2 —1-А
= 0 или k3 + k2 — ak + 6 = 0.
По признаку Гурвица условиями асимптотической устойчивости будут at > 0, (z1(x2 — а3 > 0, а3 > 0. Эти условия в данном случае сводятся к — а — 6 > О, откуда а < —6.
280
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. 4
§ 6. Случай малого коэффициента при производной высшего порядка
Теорема о непрерывной зависимости решения от параметра (см. стр. 54) утверждает, что решение дифференциального уравнения x(t) = f(t, x(t), р) непрерывно зависит от параметра р,, если в рассматриваемой замкнутой области изменения t, х и р функция / непрерывна по совокупности аргументов и удовлетворяет условию Липшица по х:
\f(t,~X, \l)—f(t, х, \i)\^N\x~ — x\,
где /V не зависит от t, х и р,.
В задачах физики и механики условия этой теоремы обычно выполнены, однако один случай разрывной зависимости правой части от параметра, изучению которого и посвящается этот параграф, встречается в приложениях сравнительно часто.
Рассмотрим уравнение
n4f = /C' (4-28)
где р — малый параметр. Задача заключается в том, чтобы выяснить, можно ли при малых значениях |р| пренебречь членом P-^-, т. е.
приближенно заменить решение уравнения р-^=/(/, х) решением
так называемого вырожденного уравнения
/(г, х) = 0. (4.29)
Мы не можем здесь воспользоваться теоремой о непрерывной зависимости решения от параметра, так как правая часть уравнения
4r = 7/('>J° (4-28l)
разрывна при р = 0.
Предположим пока для упрощения, что вырожденное уравнение (4.29) имеет лишь одно решение х = ф(г), предположим также для определенности, что р > 0. При стремлении параметра р к нулю
dx „ dx 1 .., .
производная решений уравнения -^-= — /(г, х) в каждой точке,
в которой f(t, х)ф0, будет неограниченно возрастать по абсолютной величине, имея знак, совпадающий со знаком функции /(г, х). Следовательно, касательные к интегральным кривым во всех точках, в которых f(t, х) ф 0, стремятся при р—>0 к направлению, параллельному оси Ох, причем если /(г, х) > 0, то решение x(t, р.)
dx
уравнения (4.28j) возрастает с возрастанием г, так как —гг > 0, а если
§ 6]
СЛУЧАЙ МАЛОГО коэффициента
231
fit, X) < 0, то решение x(t, fi) убывает с возрастанием так как dt ^ и-
Рассмотрим изображенный на рис. 4.18 случай а), при котором знак функции /(/, х) с возрастанием х при фиксированном t меняется при переходе через график решения х=ф(/) вырожденного уравнения с -f- на —.
