Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
dv „ _
некоторой окрестности начала координат ^ — р < 0, следовательно, точка
покоя х = 0, у = 0 по теореме предыдущего параграфа асимптотически устойчива.
Остановимся несколько подробнее на последнем примере. Система уравнений первого приближения
dx .
dy_ dt
= Ъх
(4.24)
имела в начале координат центр. Наличие нелинейных членов в системе (4.23) превратило этот центр в устойчивый фокус.
Аналогичная, но несколько более сложная геометрическая картина наблюдается и в общем случае. Пусть система первого приближения для системы
dx
—J-== ClnXx A- A12X2 + R1(X1, X2),
dx2
It
— ^21*^1 ~\~ ^22^2 ¦^2^
(4.25)
имеет точку покоя типа центра в начале координат. Предположим, как и на стр. 221, что нелинейные члены Rx(xx, X2) и R2(Xx, х2) имеют порядок выше первого относительно ]/^х2-)-х|. Эти нелинейные члены в достаточно малой окрестности начала координат малы по сравнению с линейными членами, но все же они несколько искажают поле направлений, определяемое линейной системой первого приближения, поэтому выходящая из некоторой точки (х0, у0) траектория после обхода начала координат немного смещается по сравнению с проходящей через ту же точку траекторией линейной системы
15 Л. Э. Эльсгольц
22в
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. 4
и, вообще говоря, не попадает в точку (х0, у0) — траектория не замыкается.
Если после такого обхода начала координат все траектории приближаются к началу координат, то в начале координат возникает устойчивый фокус; если же траектории удаляются от начала координат, возникает неустойчивый фокус.
В виде исключения возможен также случай, при котором все траектории нелинейной системы, расположенные в окрестности начала координат, остаются замкнутыми, однако наиболее типичным надо считать случай, при котором лишь некоторые (может быть, и ни
Рис. 4.14. Рис. 4.15.
одной) замкнутые кривые остаются замкнутыми, а остальные превращаются в спирали.
Такие замкнутые траектории, в окрестности которых все траектории являются спиралями, называются предельными циклами.
Если близкие к предельному циклу траектории являются спиралями, приближающимися при /—>оо к предельному циклу, то предельный цикл называется устойчивым (рис. 4.14); если близкие к предельному циклу траектории являются спиралями, удаляющимися от предельного цикла при t—> оо, то предельный цикл называется неустойчивым; если же с одной стороны предельного цикла при t—>oo спирали приближаются к предельному циклу, а с другой стороны удаляются от него (рис. 4.15), то предельный цикл называется полу устойчивым.
Итак, переход от системы первого приближения (4.16) к системе (4.25) приводит, вообще говоря, к превращению центра в фокус, окруженный р (случай р = 0 не исключается) предельными циклами.
На стр. 154, исследуя периодические решения автономной квази-шнейной системы
X -f- а2х = и./ (х, х, ц),
(4.26)
§ 5] ПРИЗНАКИ ОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧАСТЕЙ 227
мы уже встречались с аналогичным явлением. Действительно, заменяя (4.26) эквивалентной системой, получим
х = у,
у = — а2х -f- ц/ (х, у, р).
Соответствующая линейная система:
X = у, у = — O1X
имеет в начале координат точку покоя типа центра; добавление малых при малом р нелинейных членов превращает центр, вообще говоря, в фокус, окруженный несколькими предельными циклами, радиусы которых и определялись из уравнения (2.128), стр. 156.
Различие между случаями (4.25) и (4.27) заключается лишь в том, что члены и R2 малы лишь в достаточно малой окрестности начала координат, тогда как в случае (4.27) слагаемое р/ (х, у, р) может быть сделано малым при достаточно малом р не только в достаточно малой окрестности начала координат.
В примере 2 (стр. 156) при малом р в окрестности окружности радиуса 6 с центром в начале координат, являющейся траекторией порождающего уравнения, возникает предельный цикл.
В приложениях устойчивым предельным циклам обычно соответствуют автоколебательные процессы, т. е. периодические процессы, в которых малые возмущения практически не изменяют амплитуды и частоты колебаний.
§ 5. Признаки отрицательности действительных частей всех корней многочлена
В предыдущем параграфе вопрос об устойчивости тривиального решения широкого класса систем дифференциальных уравнений был сведен к исследованию знаков действительных частей корней характеристического уравнения.
Если характеристическое уравнение имеет высокую степень, то его решение представляет значительные трудности, поэтому большое значение имеют методы, позволяющие, не решая уравнения, установить, будут ли все его корни иметь отрицательную вещественную часть или нет.
Теорема 4.6 (теорема Гурвица*)). Необходимым и достаточным условием отрицательности действительных частей всех корней многочлена
z" -4- U1Z»-1-+ ... + «„-!*+«»
*) Доказательство теоремы Гурдица можно на,йти в курсах высшей алгебры, например в «Курсе высшей алгебры* A. F. Кэдюша.
(4.27)
1В*
228
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
