Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 4.4. Если система уравнений (4.15) стационарна в первом приближении, все члены Ri в достаточно малой окрестности начала координат при t J^T J^t0 удовлетворяют
I "Л \ k+a
неравенствам \ R1] 4N ІІ xjj , где N и а — постоянные, причем а>0 (т. е., если R1 не зависят от t, то их порядок
222
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
ггл. <
выше первого относительно
и все корни характе
ристического уравнения
— k
а
12
а,
(4.17)
а
«2
а
пп
— k
имеют отрицательные действительные части, то тривиальные решения xt==0(i=\, 2.....п) системы уравнений (4.15)
и системы уравнений (4.16) асимптотически устойчивы, следовательно, в этом случае возможно исследование на устойчивость по первому приближению.
Теорема 4.5. Если система уравнений (4.15) стационарна в первом приближении, все функции R1 удовлетворяют условиям предыдущей теоремы, и хотя бы один корень характеристического уравнения (4.17) имеет положительную действительную часть, то точки покоя х — 0(1=\, 2.....п) системы
(4.15) и системы (4.16) неустойчивы, следовательно, и в этом случае возможно исследование на устойчивость по первому приближению.
Теоремы 4.4 и 4.5 в отношении ограничений, налагаемых на корни характеристического уравнения, не охватывают лишь так называемый критический случай: все действительные части корней характеристического уравнения неположительны, причем действительная часть хотя бы одного корня равна нулю.
В критическом случае на устойчивость тривиального решения системы (4.15) начинают влиять нелинейные члены R1 и исследование на устойчивость по первому приближению, вообще говоря, невозможно.
Доказательство теорем 4.4 и 4.5 можно найти в книге И. Г. Мал-кина [2].
Для того чтобы дать представление о методах доказательства таких теорем, мы приведем доказательство теоремы 4.4 в предположении, что все корни характеристического уравнения kt действительны и различны
В векторных обозначениях система (4.15) и система (4.16) примут соответственно вид
ki < 0 (г = 1, 2.....п), ki ф kj при і ф j.
dX dt
•= AX + R,
(4.15,)
(4.16,)
§ 4]
ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
223
X =
а11 а12 U2l O22
"¦In а2п
аП\ ап2
а
пп
, R =
Rn
С помощью невырожденного линейного преобразования с постоянными коэффициентами X = BY, где
У\
6„ 6,2 ... 61я:
&21 &22 ---Ь2,і
B =
... ь„
dY
, Y-
У2
Уп
преобразуем систему (4.16,) к виду В ^Jj = ABY или рем матрицу В так, чтобы матрица ?"1 AB была диагональной:
к, 0 0 ... О
?-1 ABY. Подбе-
?-1 AB =
О k2 0 ... О О 0 ... О
0 0 0 ... кп
При этом система (4.16) преобразуется в dyt
dt
= kiyt
(1= 1, 2,
п),
а система (4.15) при том же преобразовании переходит в — = byi+Ri (*. Уі. У2.....У„)(1=1, 2, .
dt
п),
(4.18)
где I Ri I < N
t=i і
N — постоянная величина, а > 0, t^-T.
Для системы (4.18) функцией Ляпунова, удовлетворяющей условиям теоремы об асимптотической устойчивости, является
І У?-
Действительно,
1) У2.....Ул)>0, »(0, 0.....0) = 0;
•2> S-2S^ ^-2S*^+2S*^'<i*^<°
/=1
Z = I
J=I
где
224
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. 4
при достаточно малых у/, так как все kj < 0, а удвоенная сумма 2 2 **У*#/
і = і
при достаточно малых yt может быть сделана по модулю меньше сум-
п
мы 2 кЛ
4=1
Наконец, вне окрестности начала координат
dv ~dl
<0.
Пример 1. Исследовать на устойчивость точку покоя х = 0, у = 0 системы
= X — у -+- Xі + у- sin г,
= х+у-
(4.19)
Нелинейные члены удовлетворяют условиям теорем 4.4 и 4.5. Исследуем на устойчивость точку покоя х — 0. у = 0 системы первого приближения
dx dt dy dt
= х — у.
(4.20)
Характеристическое уравнение
dt
— 0 имеет корни ft,, 2 = 1 ±
1 —ft —1 1 1 — ft
следовательно, в силу теоремы 4.5 точка покоя систем Ы.19; и (4.20) неустойчива.
Пример 2. Исследовать на устойчивость точку покоя х = 0, у = 0 системы
^X о,о.
Ix + 8 sin у,
rf } (4.21)
~ = 2 — — Зу — cos у
Разлагая sin_v, ех и cos у по формуле Тейлор,'., представляем систему в виде
g=2x + 8y + ?„ g = _*-3y + tf2,
где Ri и /?2 удовлетворяют условиям теорем 4.4 и 4.5.
2 —ft
Характеристическое уравнение
вого приближения
dx „ , _ rfy „
_j _2 _ ^ і = 0 для системы пер-
(4.22)
имеет корни с отрицательными действительными частями. Следовательно, точка покоя х = 0, у = 0 систем (4.21) и (4.22) асимптотически устойчива.
§ 4]
ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
225
Пример 3. Исследовать на устойчивость точку покоя X = О, у = О системы
dx • о --
• у».
(4.23)
Характеристическое уравнение
• 0 для системы первого
— k —4
3 — k
приближения имеет чисто мнимые корни — критический случай. Исследование по первому приближению невозможно. В данном случае легко подбирается функция Ляпунова
V=Zx2A- 4у2.
1) v(x, у)>0, v(0, O) = O; dv
2) — = 6х(— 4у — X3) A-Sy (Sx- у3) = — (6-ї4-f-8у4)< 0, причем вне
