Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. она вычислена в предположении, что аргументы х,- (і = 1, 2, ...
.... я) функции V(X1, х2.....Xn) заменены решением X1 (t) (I =
= 1, 2.....я) системы дифференциальных уравнений (4.14).
п
п „ dv dv dxi
Действительно, в этом предположении —ц- = V -Jx- -jf- или за-
i = i '
dxi ,. , .ч
меняя —-TT- правыми частями системы (4.14), окончательно получим
216
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. 4
координат цедиком лежит внутри поверхности v = c, причем в этой окрестности V < с. Если начальная точка с координатами X1V0) (1=1, 2, .... п) выбрана в 6-окрестности начала координат (рис. 4.11) и, следовательно, V(X1V0), X2V0), xn(t0)) = C1 <i с, то при t > t0 точка траектории, определяемой этими начальными условиями, не может выйти за пределы е-окрестности начала координат и даже за пределы поверхности уровня V = с, так как, в силу
Рис. 4.10. Рис. 4.11.
условия 2) теоремы, функция V вдоль траектории не возрастает и, следовательно, при t^>t0
V(X1V), X2V).....XnV))^c1Kc
Замечание. А. М. Ляпунов доказал теорему об устойчивости в более общих предположениях, в частности, он считал, что функция V может зависеть и от t: v = v(t, X1, X2.....хп). При этом
для справедливости теоремы об устойчивости первое условие надо заменить следующим
v(t, xv X2.....Xn)^W(X1, X2.....Xn) >0
в окрестности начала координат при t^>t0, где непрерывная функция w имеет строгий минимум в начале координат, v (t, 0, 0.....0) =
= w(0, 0.....0) = 0, а второе условие остается прежним ^<^0,
но только в этом случае
п
dv_ ov . \\ dv ,
~Ж — ~дГ ^ LkIxI1 (1, *!• Х2.....Х„).
'=1
§3]
ВТОРОЙ МЕТОД A M ЛЯПУНОВА
217
Схема доказательства остается прежней, надо только принять во внимание, что, в силу условия 1), подвижная при изменяющемся t поверхность уровня V (t, X1, X2.....Xn) = с остается при всех изменениях
/^>/0 внутри поверхности уровня W(X1, X2.....хп) = с (рис. 4.12).
Теорема 4.2 (теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Если существует дифференцируемая функция
Ляпунова V(X1, х2.....хП), удовлетворяющая условиям:
1) V(X1, X2
Xn) имеет
строгий минимум в начале координат: v(0,0, 0) = 0;
2) производная, функции V1 вычисленная вдоль интегральных кривых системы (4.14)
V(X11X1X)
-уі-^г=ш(х,,хг)
dv
X2.....xa) *C0,
Рис. 4.12.
причем вне сколь угодно малой окрестности начала коорди-
п
2 2 dv
нат, т. е. при 2j xt ^b1 > 0, t^-T0^>t0, производная ~? < ®<
1, 2, ..., п)
где ?— постоянная, то точка покоя хі==0 (I системы (4.14) асимптотически устойчива.
Доказательство. Так как условия теоремы об устойчивости выполнены, то для каждого є>0 можно подобрать 6(є)>0 такое, что траектория, начальная точка которой находится в o-окрестности начала координат, при / /0 не выходит за пределы е-окрестности начала координат. Следовательно, в частности, вдоль такой траектории при / > T0 выполнено условие 2), поэтому вдоль траектории функция V монотонно убывает с возрастанием /, и вдоль траектории существует предел функции V при t —> оо:
lim v(t, X1(O, X2U).....x„U)) = a>0.
Надо доказать, что а = 0, так как если а = 0, то из условия 1) следует, что Hm X1 U) = O U=I, 2.....я), т. е. точка покоя
<->оо
xt = 0 (/=1,2.....я) асимптотически устойчива. Допустим, что
а > 0; тогда траектория при / > /0 находится в области v а', следовательно, вне некоторой O1-окрестности начала координат, т. е.
218 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ [ГЛ. 4
dv
там, где по условию 2) —?<^ при t^T0. Умножая неравенство
jj^.—? на dt и интегрируя вдоль траектории в пределах от T0 до t, получим:
г> (X1(O. X2(O.....Xn(V)-V(X1(T0), X2(T0).....Xn(T0)X
<-?(Z-7-0),
или
V(X1 (t), x2(t),---- х„(0)<
< V (X1 (T0), х2 (T0).....хп (T0)) - ? (t - T0).
При достаточно большом t правая часть отрицательна, а следовательно, и 1»(X1(O1 Xo(O. •••• xn(t))<0, что противоречит условию 1).
Замечание. Теорема об асимптотической устойчивости обобщается на случай функции v, зависящей от t, X1, х2.....хп, если
первое условие, как и в предыдущей теореме, заменить следующим:
X1, х2.....Xn) >
> w (X1, х2, .... х„) >0,
где функция w имеет строгий мини-'Z) мум в начале координат, и, кроме того, потребовать, чтобы функция v(t, X1, X2..... Xn) равномерно
относительно t стремилась к нулю
и
при 1 х) ->0.
( = 1
Рис. 4.13. Теорема 4.3 (теорема Че-таева о неустойчивости). Если существует дифференцируемая функция г» (X1, X2.....хп), удовлетворяющая в некоторой замкнутой h-окрестности начала координат условиям: Y) в сколь угодно малой окрестности U начала координат существует область (v > 0), в которой v > О, причем V = O на лежащей в U части границы области (v > 0); 2) в области (v > 0) производная
и
av \л dv , ,,
dv
причем в области (v а), а > 0, производная ^S?-?>0' то точка покоя х(==0 (/=1, 2, ..., п) системы (4.14) неустойчива.
§ 3] ВТОРОЙ МЕТОД A. M ЛЯПУНОВА 219
Доказательс і ни. Начальную точку X1[I0), X2(Z0).....XnVo)
