Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
X1 = а,Л' (1=1, 2.....я),
если ks действительны,
Xj = е"*' (?;- cos qst -4- Yy sin qst),
если ks = ps~\-qst, и, наконец, в случае кратных корней решения такого же вида, но еще умноженные на некоторые многочлены Pj (г). Очевидно, что все решения такого вида, если действительные части корней отрицательны (ps < 0, или если ks действительно, то ks < 0), стремятся к нулю при t—>со не медленнее, чем ce~mt, где с — постоянный множитель, а —т < 0 и больше наибольшей действительной части корней характеристического уравнения. Следовательно, при достаточно большом t точки траекторий, начальные значения которых находятся в любой o-окрестности начала координат, попадают в сколь угодно малую є-окрестность' начала координат и при /->оо неограниченно приближаются к началу координат — точка
покоя X1== 0 (і=\, 2.....я) асимптотически устойчива.
Если же действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения положительна, Re kt = P1 > 0, то соответствующее этому корню решение вида Xj = са;-с*'', или в случае комплексного R1 его действительная (или мнимая) часть сер'' (Pj cos qtt -|--4- у j sin qft) (J == 1, 2, я) при сколь угодно малых по модулю значениях с неограниченно возрастает по модулю при возрастании t, и, следовательно, точки, расположенные в начальный момент на этих траекториях в сколь угодно малой o-окрестности начала координат, покидают при возрастании t любую заданную є-окрестность начала координат. Следовательно, если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения положительна, то точка покоя A^ = O (J=U 2.....я) системы (4.13) неустойчива.
Пример 1. Какого типа точку покоя имеет система уравнений
dx
4f=2, + 3y?
Характеристическое уравнение
1-й — 1 2 3 — *
или
А2 — 4k -t- 5 = О
214
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
ГГЛ. 4
имеет корни ki,2 = 2±t, следовательно, точка покоя х=0 у = 0 является неустойчивым фокусом.
Пример 2. X= — а2х — 2b'x — уравнение упругих колебаний с учетом трения или сопротивления среды (при b > 0). Переходя к эквивалентной системе уравнений, получим
X= у,
у — — а2х — 2Ьу. Характеристическое уравнение имеет вид
= 0 или /г2 4- 2Ыг 4- а2=0.
- П2 - //)--/?
откуда kU2— — b± Yb2 — а2.
Рассмотрим следующие случаи:
1) Ъ — 0, т. е. сопротивления среды не учитываются. Все движения периодические. Точка покоя в начале координат является центром.
2) Ь2 — а2 < u, b > 0. Точка покоя является устойчивым фокусом. Колебания затухают.
3) Ь2 — й2>-0, b > 0. Точка покоя является устойчивым узлом. Все решения затухающие, неколеблющиеся. Этот случай наступает, если сопротивление среды велико (Ь 5> а).
4) b < 0 (случай отрицательного является неустойчивым фокусом.
трения), Ь2 — а2 < 0. Точка покоя
5) b < 0, Ь2
> 0 (случай большого отрицательного трения). Точка
покоя является неустойчивым узлом.
Пример 3. Исследовать на устойчивость точку покоя системы уравнений
dx
ИГ = 2*-*'
dt
¦ Зх — 2z,
~ =5х-4у.
Характеристическое уравнение имеет вид
— к 2—1 3 —к —2 5 —4 —*
= 0
'—9^ + 8 = 0.
Определить корни кубического уравнения в общем случае довольно трудно, однако в данном случае один корень ?, — I легко подбирается, и так как этот корень имеет положительную действительную часть, то можно утверждать, что точка покоя х ~ U, у = 0, z = 0 неустойчива.
§ 3 второй МЕТОД А. М. ЛЯПУНОВА 21O
dt
п
dv Vi dv
Ox1
і
dv _¦y
dt ~ 2d
fl(t, X1, X2.....Xn).
Доказательство теоремы Ляпунова об устойчивости. В окрестности начала координат, как и в окрестности всякой точки строгого минимума (рис. 4.10), поверхности уровня V(X1, х2, .... Xn) = с функции 1»(X1, X2.....Xn) являются замкнутыми поверхностями, внутри которых находится точка минимума — начало координат. Зададим є > 0. При достаточно малом с>0 поверхность уровня v = c целиком лежит в е-окрестности начала координат *), но не проходит через начало координат, следовательно, можно выбрать o > 0 такое, что б-окрестность начала
*) Точнее, по крайней мере одна замкнута^ компонента поверхности уровня v=c лежит в е-окрестности начала координат.
§ 3. Второй метод А. М. Ляпунова
Выдающийся русский математик Александр Михайлович Ляпунов в конце XIX века разработал весьма общий метод исследования на устойчивость решений системы дифференциальных уравнений
*?±=f((t, xv X2.....Xn) (/=1, 2.....я), (4.14)
получивший название второго метода Ляпунова.
Теорема 4.1 (теорема Ляпунова об устойчивости). Если существует дифференцируемая функция V(X1, X2.....хп), называемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в окрестности начала координат следующим условиям:
1) V(X1, х2, .... х„),>0, причем V = O лишь при X1 = O (1=1, 2, я), т. е. функция v имеет строгий минимум в начале координат;
п
2) -L = ^ -JL/. (t, X1.....х„)<0 при t^>tu, то точка
(=1 '
покоя Xi = O (1=1, 2.....я) устойчива.
dv
Производная — в условии 2) взята вдоль интегральной кривой,
