Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Сформулируем условия устойчивости в применении к точке покоя xt = 0 (/= 1. 2.....п).
Точка покоя X1 = O (/ = 1. 2..... п) системы (4.5) устойчива
в смысле Ляпунова, если для каждого є > 0 можно подобрать б (є) > 0 такое, что из неравенства
IxAt0)Kb(S.) (/=1, 2.....ге)
следует
I xt(t) |< е (/=1,2.....п) при />Г>/0.
Или несколько иначе: точка покоя xt = 0 (/=1, 2.....п) устойчива в смысле Ляпунова, если для каждого е > 0 можно подобрать O1 (е) > 0 такое, что из неравенства
2 x](t0)<bUe) 1=1
следует
п
j = i
при t^-T, т. е. траектория, начальная точка которой находится в oj-окрестности начала координат при t^T не выходит за пределы е-окрестности начала координат.
§ 2] ПРОСТЕЙШИЕ ТИПЫ ТОЧЕК покоя 207
Рис. 4.1. Рис. 4.2.
в (4.8) все точки, находящиеся в начальный момент t = t0 в любой 6-окрестности начала координат, при достаточно большом t переходят в точки, лежащие в сколь угодно малой е-окрестности начала координат, а при t-*oo стремятся к началу координат. На рис. 4.1 изображено расположение траекторий около точки покоя рассматриваемого типа, называемой устойчивым узлом, причем стрелками указано направление движения по траекториям при возрастании t.
2) Пусть A1 > О, A2 > 0. Этот случай переходит в предыдущий при замене г на —t. Следовательно, траектории имеют такой же вид, как и в предыдущем случае, но только точка по траекториям движется в противоположном направлении (рис. 4.2). Очевидно,
Ci1 и а2 с точностью до постоянного множителя определяются из одного из уравнений:
(A1I-A)O1-T-A]8O8 = O1J A21O1-T-(A22 - A)O2 = O. J
Рассмотрим следующие случаи:
а) Корни характеристического у равнения A1 и A2 действительны и различны.
Общее решение имеет вид
X = C1O1/1' 4- C2B1**1', )
У = C1O2C 4"С\$2е , J
где (X1 и ?; — постоянные, определяемые из уравнений (4.7) соответственно при A = A1 и при A = A2, a C1 и C2 — произвольные постоянные.
При этом возможны следующие случаи:
1) Если A1 < О и A2 < 0, то точка покоя лг = 0, у = 0 асимптотически устойчива, так как из-за наличия множителей е*1' и ekit
208 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ [ГЛ. 4
что с возрастанием t точки, сколь угодно близкие к началу координат, удаляются из е-окрестности начала координат — точка покоя неустойчива в смысле Ляпунова. Точка покоя рассматриваемого типа называется неустойчивым узлом.
3) Если kx > О, A2 < 0, то точка покоя тоже неустойчива, так как движущаяся по траектории
k,t k,t /JL Л,
X = схахе , у = сха2е (4.9)
точка при сколь угодно малых значениях C1 с возрастанием t выходит из е-окрестности начала координат.
Заметим, что в рассматриваемом случае существуют движения, приближающиеся к началу координат, а именно:
X = C2?j^, у = c2?2eA2'. При различных значениях с2 получаем различные движения по одной
и той же прямой у = -I^ х. При возрастании t точки на этой пря-Pi
мой движутся по направлению к началу координат (рис. 4.3). Заметим
также, что точки траектории (4.9) движутся с возрастанием t по прямой а2
у == — х. удаляясь от начала координат. Если же C1 Ф 0 и C2 Ф 0, то как при t—>со, так и при г—> — со траектория покидает окрестность точки покоя. Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом (рис. 4.3) потому, что расположение траекторий в окрестности такой точки напоминает расположение линий уровня в окрестности седлообразной точки некоторой поверхности
Z = f(x, у).
б) Корни характеристического уравнения комплексны: /г1Д = р ± qt, q ф 0.
Общее решение рассматриваемой системы можно представить в виде (см. стр. 196)
X = epl (C1 cos qt -+- C2 sin qt), ]
у =e»< (с; cos qt+ c\ sin qt), J (4Л0)
где C1 и C2—произвольные постоянные, а с* и с\ — некоторые линейные комбинации этих постоянных.
ПРОСТЕЙШИЕ ТИПЫ ТОЧЕК покоя
209
При этом возможны следующие случаи: 1) kh2 = p±ql, р<0,
Множитель epi, р < 0, стремится к нулю с возрастанием t, а второй — периодический множитель в уравнениях (4.10) остается ограниченным.
Если бы р = 0, то траекториями были бы, в силу периодичности вторых множителей в правой части уравнений (4.10), замкнутые
Рис. 4.4.
Рис. 4.5.
кривые, окружающие точку покоя х = 0, у = 0 (рис. 4.4). Наличие стремящегося к нулю с возрастанием t множителя epi, р < 0, превращает замкнутые кривые в спирали, асимптотически приближающиеся при і —> эо к началу координат (рис. 4.5), причем при достаточно большом t точки, находившиеся при t = t0 в любой o-окрестности начала координат, попадают в заданную е-окрестность точки покоя X= 0, у = 0, а при дальнейшем возрастании t стремятся к точке покоя. Следовательно, точка покоя асимптотически устойчива — она называется устойчивым фокусом. Фокус отличается от узла тем, что касательная к траекториям не стремится к определенному пределу при приближении точки касания к точке покоя.
2) A12 = р ±qi, р>0, q ф0.
Этот случай переходит в предыдущий при замене г на — t. Следовательно, траектории не отличаются от траекторий предыдущего случая, но движение по ним происходит при возрастании г в противоположном направлении (рис. 4.6). Из-за наличия возрастающего множителя ер* точки, находившиеся в начальный момент сколь угодно близко к на-' чалу координат, с возрастанием t удаляются из е-окрестности начала координат — точка покоя неустойчива. Она носит название неустойчивого фокуса.