Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
стр. 43). Для повышения точности можно применить итерации (уравнивание).
3. Разложение по формуле Тейлора. Предполагая, что правые части системы уравнений (3.37) дифференцируемы k раз (для того чтобы обеспечить дифферен-цируемость решений k 4- 1 раз), заменяют искомые решения несколькими первыми членами их тейлоровских разложений:
У і (*) * У і (хо) + У і (*о) (х - хо) +
х0)к
Рис. 3.2.
(1=1, 2.....я).
Al
Оценка погрешности может быть осуществлена путем оценки остаточного члена в формуле Тейлора"
Я» = Уі*+1,[*о + в(*-*0)]
(X — X0)
к+1
где 0 < в < 1.
(А+ 1)1
Этот метод дает хорошие результаты лишь в малой окрестности точки х0.
4. Метод Штермера. Отрезок X0 4.x разбивается на части длиной я, и вычисление решения системы (3.37) проводится по одной из формул:
Уї, H+I = Уї* +Чім +J b<lt, R-v ' (3-38)
(3.39)
1 5
У і. * + і = Ут + Я t* + J Ааі, к-\ + 12" ^Яі, »-2-
Уі. ft+i
¦¦У,к T Ят + у к-\ + 12
5 д2<7/, *-2 + І Д3<7/, *-8-
(3.40)
где (/=1,2.....я), уІА = Уі(л:й),
** = *о + *А' Чік = Уі(хк)п. д<7 і, к-\=Яіп — Я і, k-v д2<7<, *-2 = Д</л ft-i — Д(7/, *-2» дз?<, ?-3 = д2<7«, й_2 — д2?л ft-3-
задачи к главе 3
201
Формулы (3.38), (3.39) и (3.40) могут быть полунены совершенно так же, как для одного уравнения первого порядка (см. стр. 63). Порядок погрешности При применении - этих формул остается таким же, как и для одного уравнения.
Для начала вычисления по формуле Штермера необходимо знать несколько первых значений у,- (хк), которые могут быть найдены путем разложения по формуле Тейлора или методом Эйлера с уменьшенным шагом, причем, так же как и для одного уравнения, для повышения точности можно применять итерации (см. стр. 61 —62), или методом Рунге.
5. Метод Рунге. Вычисляются числа
«і1 =//(**• Уі*. У2к.....Упк)'
«и = /*(*» + ¦§¦. Уік+^j1-' Уи+^г.....Упк + ^Y1-)'
тіз — 7/1 xk ~r ¦ У и т- 9 . У2*т Упк~г 2 j-
Щі = fi(xk + k, ylk + hm13, y2k + hm23.....ynk + hmn3),
зная которые, находим yit k+1 по формуле
Уі,к+і = Уік + ^(тп + 2ті2-Т-2тІЗ-\-тІІ) (/==1, 2.....я).
Порядок погрешности такой же, как и для одного уравнения.
Грубо ориентировочно шаг h в зависимости от требуемой точности результата выбирается с учетом порядка погрешностей в применяемых формулах и уточняется путем пробных вычислений с шагом ft и j . Надежнее всего проводить вычисления с шагом h и ^
всех требуемых значений Уі{хк), и если при сравнении результатов все они в пределах заданной точности совпадают, то шаг h считают обеспечивающим заданную точность вычислений, в противном случае
ft ft
снова уменьшают шаг и проводят вычисления с шагом "j и T
и т. д. При правильном выборе шага h разности A<7/ft, А2?,-*, •. • должны меняться плавно, а последние разности в формулах Штермера должны влиять лишь на запасные знаки.
Задачи к главе 3
2.
dx _ ~dT~
,/2JC1-
dt2 ъ dt1 X2 (0)= 2, Jc2 (0) = 2."
-?---лс. X(O) = O, у (0)=1.
' "2 --=*„ Xi (0) = 2, X1 (0) = 2.
d2x2
202 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 3
12.
rf/ ' ' dt 1 sin/
dx у dy X
dt X — у ' dt x — у
13. Je + у = cos /, у + X = sin /.
14. х + Зх — у =0, у —8x+y = 0, X(O)=I1 y(0) = 4.
15. __ +SInO = O при / = 0. 0 = 3g, ^-=0
Определить 6 (1) с точностью до 0,001.
16. X (/) = ax — у, у (/) = X + ду; а — постоянная.
17. х + 3х + 4у =0, у + 2х + 5у=0.
18. х = — 5х — 2у. у = X — 7у.
19. X = у — г, у = д: + у, г = х + г.
20. X — у + г = 0, у — X — у=/, і — X — z = t. 2] dx _ dy _ dz
22.
X (у—г) У (г—X) 2(х— у)' dx dy dz
X (у2 — z1) у (г2 —X2) г (X2—у2)'
її х її и 2 _]
23. Л = AK, где X = 1LaH=L _
Il -^2 [І У v л
. dx dy dz
4. —— = у, —г = г, -тг «- х.
dt J dt dt
5 i? = v IL=Li dt y' dt X '
„ dx . dy , . „ dx dy ,
7 dy_ _ z_ d?__x
dx ~ X ' dx ~ Xy g dx dy _ dz
z — у ~~~ X — z~ у — X ' n dx dy dz
9--dt=-x + y + z' -ат=х-у + 2- ЧГ = х + у-г-
ГЛАВА 4 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 1. Основные понятия
Для возможности математического описания какого-нибудь реального явления неизбежно приходится упрощать, идеализировать это явление, выделяя и учитывая лишь наиболее существенные из влияющих на неге факторов и отбрасывая остальные, менее существенные. При этом неизбежно встает вопрос о том, удачно ли выбраны упрощающие предположения. Возможно, что неучтенные факторы сильно влияют на изучаемое явление, значительно меняя его количественные или даже качественные характеристики. В конечном счете этот вопрос решается практикой — соответствием полученных выводов с опытными данными, но все же во многих случаях можно указать условия, при которых некоторые упрощения заведомо невозможны.
Если некоторое явление описывается системой дифференциальных уравнений
