Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
у = а,у, (X) + а2у2 (х) + ... + а„уя (х)
будет решением линейного однородного уравнения (2.20), удовлетворяющим, в силу уравнений системы (2.21), нулевым начальным условиям
у (X0) = 0, у' (X0) = 0.....у(«-1>(х0) = 0. (2.22)
Таким начальным условиям, очевидно, удовлетворяет тривиальное решение у = 0 уравнения (2.20) и по теореме о единственности решения начальным условиям (2.22) удовлетворяет только это решение.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
99
Следовательно, (^y1 їх) -+ а2у2 (х) -f ... ¦+-аяуя (х) == О и решения у,, у2.....у„. вопреки условию теоремы, линейно зависимы..
Замечание 1. Из теорем 2.5 и 2.6 следует, что линейно независимые на отрезке а <^ х ^b решения у,, у2, уя уравнения (2.20) линейно независимы также на любом отрезке а, < х ^b1, расположенном на отрезке o < х
Замечание 2. В теореме 2.6 в отличие от теоремы 2.5 предполагалось, что функции yv у2.....у„ являются решениями линейного однородного уравнения (2.20) с непрерывными коэффициентами. Отказаться от этого требования и считать функции УV У~2* ¦ ¦ • > Уп произвольными п — 1 раз непрерывно дифференцируемыми функциями нельзя. Легко привести примеры линейно независимых функций, не являющихся, конечно, решениями уравнения (2.20) с непрерывными коэффициентами, для которых определитель Вронского не только обращается в нуль в отдельных точках, но даже тождественно равен нулю. Пусть, например, определены две функции у, (х) и у2(х):
Рис. 2.1
на отрезке 0 ^ х <; 2
У і (X)
= (*
-I)2
при 0 < X < 1
У\ (X)
= 0
при
1 < X < 2.
у2(х)
= 0
при
0<х< 1
У і (X)
= <х
-I)2
при . 1 < X < 2
(рис. 2.1). Очевидно,
У2
так как на отрезке
= 0 при 0<х<2,
0 <^ X <1 1 второй столбец состоит из нулей, а при 1 < х ^ 2 из нулей состоит первый столбец. Однако функции ух (х) и у2 (х) линейно независимы на всем отрезке 0<1х<;2, так как, рассматривая тождество C^y1-f а2у2 = 0, 0<^х<[2, вначале на отрезке 0<[ х<11, приходим к выводу, что O1 = O, а затем, рассматривая это тождество на отрезке 1^x ^ 2, находим, что и а2 = 0.
Теорема 2.7. Общим решением при а<^.х^.Ь линейного однородного уравнения
у<«> + Рх (X) уС-1) + ... + рп (X) у = 0 (2.20)
с непрерывными на отрезке а-^.х-^.0 коэффициентами pt(x)
а
(/=1, 2.....а) является линейная комбинация у— 2 сіУі
1*
100
УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
[ГЛ. 2
п линейно независимых на том же отрезке частных решений yt U=I, 2.....п) с произвольными постоянными коэффициентами.
Доказательство. Уравнение (2.20) при а <1 х <^ b удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Поэтому
п ¦
решение у = 2 сіУі ПРИ а ^.х будет общим, т. е. будет со-і=і
держать все без исключения частные решения, если окажется возможным подобрать произвольные постоянные C1 так, чтобы удовлетворялись произвольно заданные начальные условия
у(*о)=уо' у'Ы=уо.....J^-11W=уТ1*.
где х0 — любая точка отрезка а <С х ^.Ь.
п
Потребовав, чтобы решение у = 2 сіУі удовлетворяло поставлен-
ным начальным условиям, получим систему п линейных относительно C1(I=I, 2.....п) уравнений
2 с,У і (X0) = у0. /=і
п
2с|у;(у0) = уО'
%cty<r»(x0)==y$-*
с и неизвестными cit с отличным от пуля определителем системы, так как этим определителем является определитель Вронского W(X0) для п линейно независимых решений уравнения (2.20). Следовательно, эта система разрешима относительно C1 при любом выборе х0 на отрезке а <С X ^ b и при любых правых частях.
Следствие теоремы 2.7. Максимальное число линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения равно его порядку.
Замечание. Любые п линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения я-го порядка называются его фундаментальной системой решений. У каждого линейного однородного уравнения (2.20) существует фундаментальная система решений. Для построения фундаментальной системы решений произвольно зададим я2 чисел
У*>(х0) (/=1, 2.....я; * = 0, 1.....я—1).
§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
подчинив их выбор лишь условию
у у (X0) у2 (X0) ... у „(X0)
У[{Х0) h{Xo) ••• У'п(Хо)
101
U(n-l)
(хо)
где х0—любая точка отрезка а^х^.Ь. Тогда решения у(-(х),
определяемые начальными значениями у(*>(х0)(& = 0, 1...../г—1;
/ = 1, 2.....п), образуют фундаментальную систему, так как их
определитель Вронского W(x) в точке х = х0 отличен от нуля и, следовательно, на основании теорем 2.5 и 2.6 решения yv у2, .... уп линейно независимы.
Пример 4. Уравнение у" — у = 0 имеет очевидные линейно независимые частные решения у, = е* и уг = е-* (см. стр. 96, пример 2), следовательно, общее решение имеет вид у = схех-\- с2е~х.
Пример 5. Решение у = схех -4- C2 ch х -f- C3 sh х уравнения у'" — у' = 0 не является общим решением, так как решения е", ch х, sh х линейно зависимы. Линейно независимыми решениями являются 1, ch х, sh х, и следовательно,
у = с, -f- C2 ch X -(- C3 s'h х,
где C1, C2 и Сз — произвольные постоянные, будет общим решением рассматриваемого уравнения.
