Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
«[Уі+k2v2-I- ••• -f-a„y„ = 0, (2.12)
причем хотя бы одно аг Ф 0. Если же тождество (2.12) справедливо лишь при Ci1 = a2 = . . . = ап = 0, то функции у;, у2.....у„ называются линейно независимыми на отрезке а^х^Ь.
Пример 1. Функции 1, х, xі.....хп линейно независимы на любом
отрезке а <; X <, Ь, так как тождество
Ci1 + a2x-|-а3х2 -\- ... 4-аи+1хя = 0 (2.13)
возможно лишь, если все a; = 0. Если бы хоть одно а, Ф 0, то в левой части тождества (2.13) стоял бы многочлен степени не выше п, который может иметь не более п различных корней и, следовательно, обращается в нуль не более чем в п точках рассматриваемого отрезка.
k К k X il X
Пример 2. Функции е , е г.....е " , где kt Ф kj при / Ф j,
линейно независимы на любом отрезке a j^.x ^Ib.
Допустим, что рассматриваемые функции линейно зависимы. Тогда
a/lJr + rx2*V+ ... +аяеПпХ = 0, (2.14)
где хотя бы одно сі; Ф 0, например для определенности ап Ф 0. Разделив тождество (2.14) на ек,х и продифференцировав, получим:
a, (A2-A1) в^8-*')* + ... +an(kn-ki)e{kn~kl)X^0 (2.15) — линейную зависимость между п — 1 показательными функциями вида ерх с различными показателями. Деля тождество (2.15) на <?'*'_*'ь'г и дифференцируя, ііо.іумім линейную 3!UiIiCnAHVTi. меи.ду и —2 показательными функциями с различными показателями. продолжая эгот jipoutw и--1 ра,». получим
а„ (к, - к{) (к, - к,) ... (кп - кп_х) л' =0
что невозможно, так как а„, по предположению, отлично от нуля, a kt Ф kj при і ф j.
Доказательство остается справедливым при комплексных k-v Пример 3. Функции
ек'х, хе">х,
ек'х, хе">х, х"Фх,
кх it X її к X
є p , хє p.....x pe p ,
где кі Ф kj при іф j, линейно независимы на любом отрезке я<х<й. Допустим, что эти функции линейно зависимы. Тогда
Pi (x) е"1* +P2(x) е"2* + ... + P(x)*V=0, (2.16)
§ 31 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 97
Уі v'
Уі
\)Г
•• Уп
v'
W(X) = W [уу2, .
Уп) =
Уі
її
Уі
>2
U
у2
• • Уп
It
• Уп
* п
называемый определителем Вронского *), тождественно равен нулю.
Доказательство. Дано, что
а,у,+а2у2+ ... +апуп = 0 (2.18)
на отрезке а <; х <; Ь. причем не все а, равны нулю. Дифференцируя тождество (2.18) п — 1 раз, получим
а,у, + щу2+ ,.. +апУп =°> о^; 4 а2у2+ ... +апуп =°-
a1y("-1>4-a2y(2"-1'+ ••• + апУІГ" = 0-*) По имени польского математика Г. Вронского (1775—1853).
7 Л. Э. Эльсгольц
где Pi (х) — многочлен степени не выше причем хотя бы один полином, например Рр(х), не равен нулю тождественно. Разделим тождество (2.16) на ек,х и продифференцируем п, + 1 раз. Тогда первое слагаемое в тождестве (2.16) исчезнет, и мы получим линейную зависимость такого же вида, но с меньшим числом функций:
Q2(X) e{k2~"l)X+ ... +Qp(x) А"*і)ж = 0. (2.17)
При этом степени многочленов Qi и Pi(I = 2, 3, р) совпадают, так как при дифференцировании произведения P1 (х) ерх, р Ф О, получим [P1 (х) р + 4- Pі (x)J ерх, т. е. коэффициент при старшем члене многочлена Я,- (х) после дифференцирования произведения P1 (х) ерх приобретает лишь не равный нулю множитель р. В частности, совпадают степени многочленов Рр(х) и Qp (х), и следовательно, многочлен Qp (х) не равен нулю тождественно. Деля тождество (2.17) на е1к2~к,)х и дифференцируя п2 + 1 раз, получим линейную зависимость с еще меньшим числом функций. Продолжая этот процесс р—1 раз. получим
А,(л)Л"'с-')'аО.
что невозможно, так как степень многочлена Rp (х) равна степени многочлена Рр (х) и, следовательно, многочлен Rp (х) не равен нулю тождественно. Доказательство не изменяется и при комплексных кь
Теорема 2.5. Если функции уг, у2.....уп линейно зависимы
на отрезке a ^x ^b, то на том же отрезке определитель
УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА BbIIIIF ПЕРВОГО
ІГЛ. 5
Эта линейная однородная по отношению ко всем а, система п уравнений имеет нетривиальное решение (т. к. не все at равны нулю) при любом значении х на отрезке а^.х^.Ь. Следовательно, определитель системы (2.191, являющийся определителем Вронского "7Cy1, у2.....у„], равен нулю в каждой точке х отрезка a ^x ^b.
Теорема 2.6. Если линейно независимые функции у,, у2.....у„
являются решениями линейного одно родного у равнения
/"+JMJOy'-"-"+ ... 4- рп(х) у = 0 ,2.20)
с непрерывными на отрезке a ^ х ^b коэффициентами pt(x), то определитель Вронского
У)
у2
•• Уп
W(X) =
УІ
У2
¦¦ У'п
y\n-v
у(Ги .
* (i
не может обратиться в нуль ни в одной точке от речка a ^ X <; Ь.
Доказательство. Допустим, что в некоторой точке х х0 отрезка а < х определитель Вронского W(x0) = 0. Выберем
постоянные а, (/=1, 2.....п) так, чтобы удовлетворялась система
уравнений
аіУі(*о) + ^y2(X0) + • • • -ha„yn(x0) = 0, ' аіУ'і(хо) +а2У2Ы -Ь ••• +а,Уп(хо) = 0- . (2.2і)
а ,УГ " Ы + а2УГ1>К) + ¦ • • + а,У«~"(хо) = 0 ¦
и чтобы не все а,- равнялись нулю. Такой выбор возможен, так как определитель линейной однородной системы (2.21) п уравнений с п неизвестными а, равен нулю, W(X0)= 0, и следовательно, существуют нетривиальные решения этой системы. При таком выборе а, линейная комбинация
