Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Эльсгольц Л.Э. -> "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление " -> 30

Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление — Наука, 1969. — 425 c.
Скачать (прямая ссылка): differencialnie-urovneniya.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 131 >> Следующая


или

п

У"1=- E Pi(X)у<»-*К (2.1I1)

I = I

Если коэффициенты Рі(х) непрерывны на отрезке а^.х^.Ь, то в окрестности любых начальных значений

У (X0) = Уо- у о (Л) =» Уо.....у{п-11 (*о) = у{г

где X0 — любая точка интервала а < х < Ь, удовлетворяются условия теоремы существования и единственности.

Действительно, правая часть уравнения (2.1I1) непрерывна по совокупности всех аргументов и существуют ограниченные по модулю

частные производные -~^ = — pn-k(x) (k — 0, 1.....(п—I)),

так как функции pn_k(x) непрерывны на отрезке а^.х^.Ь и, следовательно, ограничены по модулю

Заметим, что линейность и однородность уравнения сохраняются при любом преобразовании независимого переменного х = ф(/), где Ф (/) — произвольная п раз дифференцируемая функция, производная которой ф' (/) Ф 0 на рассматриваемом отрезке изменения t.

Действительно,

dy _ dy 1

lx~~dl ф' (t) '

d2y _ d2y 1 dy ф" (t)

dx2 ~~ dt2 [q>' (t)]2 'dt [ф' (Ol3 '

d"y

Производная любого порядка —=~- является линейной однородной

dx

, dy d2y dky

функцией производных -+, —-, ..., —-г-, и следовательно, при

dt dt2 dt"

94 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО (ГЛ. 2

подстановке в уравнение (2.11) его линейность и однородность сохраняются.

Линейность и однородность сохраняются также при линейном однородном преобразовании неизвестной функции у (х) = а (х) z (х). Действительно, по формуле дифференцирования произведения

у(*> = a (X) zW + *а' (х) -"4- к {к~ Х) а" (х) 2(к-^ + ...+ а<*'(х) г,

т. е. производная y(*J является линейной однородной функцией z, z'', z".....Следовательно, левая часть линейного однородного уравнения

fl0 (X) у<"> + a, (X) у<»-1> + . . . + ап (X) у = О

после замены переменных будет линейной однородной функцией

z, z'.....zin>.

Запишем линейное однородное уравнение

У[п> + Рі (x)y("-v+ ...Ar Pn(X) у = 0

кратко в виде

L [у] = О,

где

/.[у] ^yW +(X) у <«-!>+ ... +Pn(X) У.

Будем называть I [у] линейным дифференциальным oneратором.

Линейный дифференциальный оператор обладает следующими двумя основными свойствами:

1) Постоянный множитель выносится за знак линейного оператора:

L[cy\ = cL[y\.

Действительно, (су)(п)+ P1 (х)(су)п-1Ar ...

... Ar Pn(X) (су) = с [у<»> -+- ^1(X) у*»+» -4- ... +р„(х) у].

2) Лилейный дифференциальный оператор, примененный к сумме двух функций ух и у2, равен сумме результатов применения того же оператора к каждой функции в отдельности:

?[Уі + Уг] = МУі]+ L |у2].

Действительно,

(Ух + Уг)'"' + A (X) (у, + у2)"-1+ ... +рп(х) (у, + у2) =

= [У\п) + P1 (X) У\п~l} + - .. +Pn (X) y,J + [У2Л> + P1 (X) у2л - "4- ... .

... 4 Wy2]-

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

95

Следствием свойств 1) и 2) является

т

1 = 1

где C1 — постоянные.

Опираясь на свойства линейного оператора L, докажем ряд теорем о решениях линейного однородного уравнения.

Теорема 2.2. Если ух является решением линейного однородного уравнения L[y] = 0, то и Cy1, где с—произвольная постоянная, является решением того же уравнения.

Доказательство. Дано LIy1J = O. Надо доказать, что L[cy,l = 0.

Пользуясь свойством 1) оператора L, получим L[Cy1] = CLIy1I = O.

Теорема 2.3. Сумма у1 + у2 решений уг и у2 линейного однородного уравнения L[y] = 0 является решением того же уравнения.

Доказательство. Дано L Iy1J = O и Z-Iy2] = 0. Надо доказать, что Z-Iy1-^y2I = O.

Пользуясь свойством 2) оператора Z,, получим:

Z. [у, + у2] = LJy1] + Z.[y2] = 0.

Следствие теорем 2.2 и 2.3. Линейная комбинация с про-

т

извольными постоянными коэффициентами 2 сіУі решений

і=\

yv у2.....ут линейного однородного уравнения L [у] = 0 является

решением того же уравнения.

Теорема 2.4. Если линейное однородное уравнение L[y] = 0 с действительными коэффициентами pt (х) имеет комплексное решение у (х) = и(х) + iv (х), то действительная часть этого решения и(х) и его мнимая часть v(x) в отдельности являются решениями того же однородного уравнения.

Доказательство. Дано L [и (х) -4- Iv (х)] =0. Надо доказать, что ?[«] = 0 и Z-[O] = O.

Пользуясь свойствами 1) и 2) оператора Z,, получим: '

L[U + Iv] = L[U]-J-IL[V]j=Q,

откуда L[u] = Q и L[TJ] = O1 так как комплексная функция действительного переменного обращается тождественно в нуль тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части тождественно равны нулю.

Замечание. Мы применили свойства 1) и 2) оператора L к комплексной функции -U (х) + iv (лг) действительного переменного,

X СіУі

I = I

96

УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО

[ГЛ. 2

что, очевидно, допустимо, так как при доказательстве свойств 1) и 2) были использованы лишь следующие свойства производных (су)' = су', где с — постоянная, и (у, -\- у2)' = уг -j- у2, остающиеся справедливыми и для комплексных функций действительного переменного.

Функции У](х), у2(х).....Уп(х) называются линейно зависимыми на некотором отрезке изменения х, а^х<[/?, если существуют постоянные величины CL1, а2> Un такие, что на том же отрезке
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed