Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
или
п
У"1=- E Pi(X)у<»-*К (2.1I1)
I = I
Если коэффициенты Рі(х) непрерывны на отрезке а^.х^.Ь, то в окрестности любых начальных значений
У (X0) = Уо- у о (Л) =» Уо.....у{п-11 (*о) = у{г
где X0 — любая точка интервала а < х < Ь, удовлетворяются условия теоремы существования и единственности.
Действительно, правая часть уравнения (2.1I1) непрерывна по совокупности всех аргументов и существуют ограниченные по модулю
частные производные -~^ = — pn-k(x) (k — 0, 1.....(п—I)),
так как функции pn_k(x) непрерывны на отрезке а^.х^.Ь и, следовательно, ограничены по модулю
Заметим, что линейность и однородность уравнения сохраняются при любом преобразовании независимого переменного х = ф(/), где Ф (/) — произвольная п раз дифференцируемая функция, производная которой ф' (/) Ф 0 на рассматриваемом отрезке изменения t.
Действительно,
dy _ dy 1
lx~~dl ф' (t) '
d2y _ d2y 1 dy ф" (t)
dx2 ~~ dt2 [q>' (t)]2 'dt [ф' (Ol3 '
d"y
Производная любого порядка —=~- является линейной однородной
dx
, dy d2y dky
функцией производных -+, —-, ..., —-г-, и следовательно, при
dt dt2 dt"
94 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО (ГЛ. 2
подстановке в уравнение (2.11) его линейность и однородность сохраняются.
Линейность и однородность сохраняются также при линейном однородном преобразовании неизвестной функции у (х) = а (х) z (х). Действительно, по формуле дифференцирования произведения
у(*> = a (X) zW + *а' (х) -"4- к {к~ Х) а" (х) 2(к-^ + ...+ а<*'(х) г,
т. е. производная y(*J является линейной однородной функцией z, z'', z".....Следовательно, левая часть линейного однородного уравнения
fl0 (X) у<"> + a, (X) у<»-1> + . . . + ап (X) у = О
после замены переменных будет линейной однородной функцией
z, z'.....zin>.
Запишем линейное однородное уравнение
У[п> + Рі (x)y("-v+ ...Ar Pn(X) у = 0
кратко в виде
L [у] = О,
где
/.[у] ^yW +(X) у <«-!>+ ... +Pn(X) У.
Будем называть I [у] линейным дифференциальным oneратором.
Линейный дифференциальный оператор обладает следующими двумя основными свойствами:
1) Постоянный множитель выносится за знак линейного оператора:
L[cy\ = cL[y\.
Действительно, (су)(п)+ P1 (х)(су)п-1Ar ...
... Ar Pn(X) (су) = с [у<»> -+- ^1(X) у*»+» -4- ... +р„(х) у].
2) Лилейный дифференциальный оператор, примененный к сумме двух функций ух и у2, равен сумме результатов применения того же оператора к каждой функции в отдельности:
?[Уі + Уг] = МУі]+ L |у2].
Действительно,
(Ух + Уг)'"' + A (X) (у, + у2)"-1+ ... +рп(х) (у, + у2) =
= [У\п) + P1 (X) У\п~l} + - .. +Pn (X) y,J + [У2Л> + P1 (X) у2л - "4- ... .
... 4 Wy2]-
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
95
Следствием свойств 1) и 2) является
т
1 = 1
где C1 — постоянные.
Опираясь на свойства линейного оператора L, докажем ряд теорем о решениях линейного однородного уравнения.
Теорема 2.2. Если ух является решением линейного однородного уравнения L[y] = 0, то и Cy1, где с—произвольная постоянная, является решением того же уравнения.
Доказательство. Дано LIy1J = O. Надо доказать, что L[cy,l = 0.
Пользуясь свойством 1) оператора L, получим L[Cy1] = CLIy1I = O.
Теорема 2.3. Сумма у1 + у2 решений уг и у2 линейного однородного уравнения L[y] = 0 является решением того же уравнения.
Доказательство. Дано L Iy1J = O и Z-Iy2] = 0. Надо доказать, что Z-Iy1-^y2I = O.
Пользуясь свойством 2) оператора Z,, получим:
Z. [у, + у2] = LJy1] + Z.[y2] = 0.
Следствие теорем 2.2 и 2.3. Линейная комбинация с про-
т
извольными постоянными коэффициентами 2 сіУі решений
і=\
yv у2.....ут линейного однородного уравнения L [у] = 0 является
решением того же уравнения.
Теорема 2.4. Если линейное однородное уравнение L[y] = 0 с действительными коэффициентами pt (х) имеет комплексное решение у (х) = и(х) + iv (х), то действительная часть этого решения и(х) и его мнимая часть v(x) в отдельности являются решениями того же однородного уравнения.
Доказательство. Дано L [и (х) -4- Iv (х)] =0. Надо доказать, что ?[«] = 0 и Z-[O] = O.
Пользуясь свойствами 1) и 2) оператора Z,, получим: '
L[U + Iv] = L[U]-J-IL[V]j=Q,
откуда L[u] = Q и L[TJ] = O1 так как комплексная функция действительного переменного обращается тождественно в нуль тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части тождественно равны нулю.
Замечание. Мы применили свойства 1) и 2) оператора L к комплексной функции -U (х) + iv (лг) действительного переменного,
X СіУі
I = I
96
УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
[ГЛ. 2
что, очевидно, допустимо, так как при доказательстве свойств 1) и 2) были использованы лишь следующие свойства производных (су)' = су', где с — постоянная, и (у, -\- у2)' = уг -j- у2, остающиеся справедливыми и для комплексных функций действительного переменного.
Функции У](х), у2(х).....Уп(х) называются линейно зависимыми на некотором отрезке изменения х, а^х<[/?, если существуют постоянные величины CL1, а2> Un такие, что на том же отрезке