Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
У' У'.....^-1O = O. (2A1)
Если у(х) является решением уравнения (2A1), то производная функции Ф(х, у, у'.....У"-1)) тождественно равна нулю. Следовательно,
функция Ф(х, у, у'.....у("-')) равна постоянной, и мы получаем
первый интеграл
Ф(х, у, у', У"-1)) == с.
Пример 5.
>7" + (/)2 = 0.
90 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО |ТЛ. 2
Это уравнение можно записать в виде d (yy') = 0, откуда уу' = с, или у dy = с, dx. Следовательно, общим интегралом является у2 = с,х + с?
Иногда левая часть уравнения F(x, у, у', .... уС>) = 0 становится производной дифференциального выражения (п — 1)-го порядка Ф(х, у, у'.....уД"-1') лишь после умножения на некоторый множитель и, (х, у, у'.....у1"-1)).
Пример 6.
уу"_(у')2 = 0.
1 уу"_(«')2 ^ /у'\
Умножая на множитель ц = -р, получим ^ ^2 ==0 или — [^yJ =0,
откуда — = ^,или -^-In I у I = C1. Следовательно, In I у I = C1X-f-inc2. C2 > 0, откуда у = C2/1*, C2 0, как и в примере 3 этого параграфа.
Замечание. При умножении на множитель Li(х, у, у'.....у»-ь
могут быть введены лишние решения, обращающие этот множитель в нуль. Если множитель р, разрывен, то возможна и потеря решений. В примере б при умножении на Li = ^2- было потеряно решение у = 0, которое, однако, можно включить в полученное решение у = с2ес,х, если считать, что C2 может принимать значение 0.
4. Уравнение F(x, у, у'.....у№) = 0 однородно относительно аргументов у, у', у(/г>.
Порядок однородного относительно у, у'.....у(п] уравнения
F(x, у, у'.....у<"') = 0, (2.5)
т. е. уравнения, для которого справедливо тождество
F(X1 ky, ky', .... &y(n)) = kpF(х, у, у'.....у<П)).
может быть понижен на единицу подстановкой y = e^zdx, где z — новая неизвестная функция. Действительно, дифференцируя, получаем
y' = e^dXZ,
у" = el"Х (Z* + Z'),
уі*) = еігахФ(г. z', z".....г'*-1')
(убедиться в справедливости этого равенства можно методом индукции).
§ 2] ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯДКА 91
dx j
Можно разрешить уравнение (2.6) относительно второго аргумента у" = f (х) и два раза проинтегрировать или ввести параметр и заменить уравнение (2.6) его параметрическим представлением
откуда
dy' = у" dx = ф (t) г|/ (t) dt, у' = J q> (/) г|/ (t) dt + C1, dy = y'dx, у= (f(t)^'(t)dt + c^'(t)dt+с2.
2) F(y\ y") = 0. (2.7)
Полагая y' = p, преобразуем (2.7) к уравнению (1.61), стр. 70, или представим уравнение (2.7) в параметрическом виде:
откуда
после чего у определяется квадратурой:
W*=9<')|$<«. y = f^^dt + c2.
3) F (у, JO = O. (2.8)
Можно понизить порядок, полагая
.1LL^0 й2У — dP аУ =DaP dx P' dx2 dy dx " dy '
Подставляя в (2.5) и замечая, что. в силу однородности, множитель ep^zdx можно вынести за знак функции F, получим
ep$zaxf(x, z. г'.....*<»-i>) = 0
P f г dx Ґ
или, сокращая на е J , будем иметь
f(x, z, z', .. , ^"-") = 0.
П р и м е р 7.
УУ" — (у')г = 6ху2.
„ Г г Ar , „ ' „ , , f (Zx*+ C1IdX
Полагая у = е' , получим г = ох. г = дх* + C1, у = eJ или
у = с2е(хг+с<х).
Особенно часто в приложениях встречаются дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка.
1) F(x, у") = 0. (2.6)
В этом уравнении можно понизить порядок подстановкой у' = р
и свести его к уравнению F (х, -^-) = 0, рассмотренному на стр. 69.
92 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [ГЛ. 2
X + C2 = ± j
dy
/(y)dy + c1
Можно уравнение (2.8) заменить его параметрическим представлением у=ф(?), у" — i>(t); тогда из dy' — y"dx и dy = y'dx получим у' dy' = у" dy или
(у J = 2 f x^{t)y'(t)dt + cx,
у'=±уГ2 f Ф(0ф'(0Л + Сі,
после чего из dy — y'dx находим dx, а затем и х: dy ф' (<) dt
dx ¦
У ± |/~2 J ф (0 ф' (О Л + C1
*=± f -j= *(t)dt + с2. (2.9)
J у 2 f у (t)vf V) dt+ C1
Уравнение (2.9) и у == ф {t) и определяют в параметрическом виде семейство интегральных кривых.
Пример 8.
у" = 2у3, у (0) = 1. у'(0) = 1.
Умножая обе части уравнения на 2у' dx, получим d (y')2 = 4у3 dy. откуда (y')2 = У4 + Ci Принимая во внимание начальные условия находим, что
C1=O и у'= у'. Следовательно, -^j- = dx,--— = х -J- с2, C2 = —1,
і
Если уравнение (2.8) легко разрешимо относительно второго аргумента у"== /(у), то, умножая это уравнение почленно на 2у' dx = 2dy, получим d(y'f = 2/ {y)dy, откуда
U= ±/" 2ff(y)dy+c1, ± *У =dx.
у 2 j iy)dy + c,
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
93
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения и-го порядка
Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производных и, следовательно, имеющее вид
й0 (X) У") + ?, (X) у"1"1» + • • ¦ + ?„-i (X) у' + ?„ (X) у = ф (х). (2.10)
Если правая часть ф(х) = 0, то уравнение называется линейным одно родным,- так как оно однородно относительно неизвестной функции у и ее производных.
Если коэффициент а0(х) не равен нулю ни в одной точке некоторого отрезка a х 4^b, то, разделив на а0(х), приведем линейное однородное уравнение при х, изменяющемся на этом отрезке, к виду у(п) + рі{х)у(п-1)+ _ +P^1(X) у'+ рЙ(х) у = 0 (2.11)
