Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
точку (х0, Уо) и направление касательной к искомой интегральной кривой в этой точке, то при выполнении условий теоремы существования и единственности этими условиями определяется единственная интегральная кривая.
у(«> = f(x, у, у', у".....уД"-1')
(2.1)
ПРОСТЕЙШИЕ случаи ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯДКА
87
Например, в уравнении движения материальной точки массы по прямой под действием силы f(t, х, х):
тх = f(t, х, х),
задание начального положения точки х (t0) = х0 и начальной скорости X (t0) = х0 определит единственное решение, единственный закон движения х = х (t), если, конечно, функция / удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.
Теорема о непрерывной зависимости решения от параметров и от начальных значений, рассмотренная на стр. 54, без изменения метода доказательства переносится на системы дифференциальных уравнений, а следовательно, и на уравнения «-го порядка.
§ 2. Простейшие случаи понижения порядка
В некоторых случаях порядок дифференциального уравнения может быть понижен, что обычно облегчает его интегрирование.
Укажем несколько наиболее часто встречающихся классов уравнений, допускающих понижение порядка.
1. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка k — 1 включительно:
F(x, /*>, y(ft+1>.....y(")) = 0. (2.3)
В этом случае порядок уравнения может быть снижен до п — k заменой переменных yW = p.
Действительно, после замены переменных уравнение (2.3) принимает вид
F(x, р, р'.....р<я-*)) = 0.
Из этого уравнения определяется р = р(х, C1, с2, cn_k), а у находим из yW = p(x, C1, C2.....сп-ь) ^-кратным интегрированием. В частности, если уравнение второго порядка не содержит у, то замена переменных у' = р приводит к уравнению первого порядка.
Пример 1.
d5y 1 d<y . 0 dxb X dx*.
„ d(y dp 1 .
Полагая -j-^ = p, получаем -f---p = 0; разделяя переменные и интегри-
Ct X CtX X
рун, будем иметь: 1п| р | = In j х \ -\- In с, или р=сх, ~jZ~i~cx' 01КУДа у = C1X5 + с2х3 + сах2 + с4х + с6.
Пример 2. Найти закон движения тела, падающего в воздухе без начальной скорости, считая сопротивление воздуха пропорциональным квадрату скорости.
88 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО |ГЛ. 2
Уравнение движения имеет вид d2s m4F
mg
где s — пройденный телом путь, т — масса тела, / — время. При t — О
будет s = 0 и "^" = 0.
Уравнение не содержит явно неизвестной функции s, следовательно,
ds „
можно понизить порядок уравнения, считая — = v. При этом уравнение движения примет вид
dv , ,
т. -jjj- — mg — kv2-.
Разделяя переменные и интегрируя, получим
V
mdv f dv 1 „ kv
¦ = dt, t=m і -j-y = —- *
J mg — kv2 hV
mg — kv2 * '"J ~mg — kv2 k Yg Ar'h yrg'
откуда V — tn Vg t)> умножая на dt и интегрируя еще раз, найдем
S= ~ In ch (A Vit).
закон движения:
2. Уравнение не содержит независимого переменного:
F (у, у', у".....У">) = 0.
В этом случае порядок уравнения можно понизить на единицу подстановкой у' = р, причем р рассматривается как новая неизве-
стная функция у, р = р (у), и следовательно, все производные —-
dxk
надо выразить через производные от новой неизвестной функции р (у) по у:
dy
d2y _ dp _ dp dy _ dp
dx2 dx dy dx dy P'
d3y _ d I dp
dx3 dx \ dy
Fj dy \ dy y) dx dy2 p ^ \ dy )
и аналогично для производных более высокого порядка. При этом
dky
очевидно, что производные —- выражаются через производные по-
dx"
рядка не выше k — 1 от р по у, что и приводит к понижению порядка на единицу.
ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ПОНИЖЕНИЯ ПОРЯДКА
89
в частности, если уравнение второго порядка не содержит независимого переменного, то указанная замена переменных приводит к уравнению первого порядка.
Пример 3.
r-, dy d2y dp
Полагая ~ = р, = р -~ , получим уравнение с разделяющимися переменными — р2 = 0, Общее решение КОТОРОГО P=C1)I или = СіУ-
Снова разделяя переменные и интегрируя, получим InIyI=C1X-J-InC2 или у = c2eClX ¦
Пример 4. Проинтегрировать уравнение математического маятника X -f- a2 sin X =.0 при начальных условиях х (0) = х0, х (0) = 0. Понижаем порядок, полагая
dv . . . ,
X = Vy x = v——, vdv = — a2 sin х dx,
dx
¦v2 /---
— = a2 (cos X — cos х0), V = ± а у 2 (cos х — cos хй),
X
dX , ,/7TT-г , , 1 /* rfx
—— = ± а у 2 (cos х — cos X0), < = ±-¦?= / —
аУ 1 ¦! У
COS X — COS
Интеграл, стоящий в правой части, не берется в элементарных функциях, но легко сводится к эллиптическим функциям.
3. Левая часть уравнения
F(x, у, у', у", У")) = 0 (2.4)
является производной некоторого дифференциального выражения (п— 1)-го порядка Ф(х, у, у', .... У"-1)).
В этом случае легко находим так называемый первый интеграл, т. е. дифференциальное уравнение (п—1)-го порядка, содержащее одну произвольную постоянную, эквивалентное данному уравнению д-го порядка, и тем самым понижаем порядок уравнения на единицу. Действительно, уравнение (2.4) можно переписать в виде
