Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Эльсгольц Л.Э. -> "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление " -> 27

Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление — Наука, 1969. — 425 c.
Скачать (прямая ссылка): differencialnie-urovneniya.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 131 >> Следующая


25. Найти форму зеркала, отражающего параллельно данному направлению псе лучи, выходящие из заданной точки.

26. у'2+у2 = 4.

27. Найти кривую, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания на равные части.

dx ~ 2х — у + 5 ' dx 1 -|- x H- У'

30. Численно проинтегрировать уравнение

U = X-Ly2, у (0) = 0.

Определить у (0,5) с точностью до 0,01.

31. Численно проинтегрировать уравнение

^ = Ay + X2, у (0) = 0.

Определить у (0,6) с точностью до 0,01.

32. у' = 1,31х — 0,2у2, у (0) = 2.

Составить таблицу пятнадцати значений у с шагом h = 0.02.

33. у = 2ху' — у'2. 34. U = cos (х — у).

35. Пользуясь методом изоклин (см. стр. 17), сделать набросок семейства интегральных кривых уравнения

dy , ,

-Zr- = х — У ¦ dx J

36. (2х + 2у — 1) dx -f (X + у — 2) dy = 0.

37. у'3— y'e2Jr = 0.

38. Найти ортогональные траектории парабол у2 + 2ах = а2.

39. Имеет ли дифференциальное уравнение у = Ъху' — (у')2 особое решение?

40. Приближенно проинтегрировать уравнение

и = л-у2, у(1)=0 методом последовательных приближений (определить у, и у2).

X

4Ly = X2+ Jl- dx.

42. Имеет ли уравнение у' = Vx — 5у + 2 особое решение?

43. (х — у) у dx — X2 dy = 0.

44. Найти ортогональные траектории семейства у' — сх6.

45. X + 5х = 10/ + 2 при t = 1, X = 2.

84 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 1

49.

rfy _ Зх — 4у — 2 dx ~ Зх — 4у -- 3 '

50. л: — л- ctg < = 4 sin t.

51. у = X2 + 2y'.v +

52. у' — Ц- -4- a3)-2 = 0.

53. у (1 + у'2) = а.

54. (X2 — y)dx + (х2у2 + X) dy = 0.

55. Найти интегрирующий множитель уравнения

(Зу2 — X) dx + 2у (у2 — Зх) dy = 0.

имеющий вид и. = и (а- 4- у2).

56. (х — у) у dx — X2 dy = 0.

57. y' = ft^.

1— х + у

58. ху' — у2 In X -f у = 0.

59. (х2 — 1) у' + 2ху —— cos X — 0.

60. (4у + 2а + 3) у' — 2у — X — 1 = 0.

61. (у2 — а) у' — у -(- а2 = 0.

62. (у2 — а2) у' + 2ху = 0.

63. Зху2у' + у3 — 2а = 0.

б4- (У')2 + (х + а) У' —~ У — 0. где а — постоянная.

65. (у')2 — 2ху'4-у = 0.

66. (у')2 + 2уу'ctgA — у2 = 0.

4 » X X2

46. X = — -\- -р- при t = 2, X = 4.

47. у = Ay' -f у'2 при JC = 2, _у = — 1.

48. у = ху' -f- у'2 при л- = 1, у = — 1.

ГЛАВА 2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО

§ I. Теорема существования и единственности для дифференциального уравнения «-го порядка

Дифференциальные уравнения /1-го порядка имеют вид

у(.") = f(x, у, у'.....у1"-1»). (2.1)

или, если они не разрешены относительно старшей производной, F(x, у, у'.....у(")) = 0.

Теорема существования и единственности для уравнения я-го порядка легко может быть получена путем сведения его к системе уравнений, для которой на стр. 51 теорема существования и единственности уже была доказана.

Действительно, если в уравнении yW = f(x, у, у', У"-1)) неизвестными функциями считать не только у, но и у' = ух, у" = у2.....у("-1)=уп_1, то уравнение (2.1) заменяется системой

У ==Уі. h = Ут

= /(¦*- У' У\.....Уя_і>

(2.2)

после чего уже можно применить теорему о существовании и единственности решения системы уравнений (см. стр. 51), согласно которой, если правые части всех уравнений системы (2.2) непрерывны в рассматриваемой области и удовлетворяют условию Липшица по всем аргументам, кроме х, то существует единственное решение системы (2.2), удовлетворяющее условиям

У (хо) — Уо> У\(хо) — У\о.....Уп-і(х0) = Уп-і,о-

86

УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО

ггл 2

Правые части первых п— 1 уравнений (2.2) непрерывны и удовлетворяют не только условию Липшица, но даже более грубому условию существования ограниченных производных по у, у,, у2.....Уп-і-

Следовательно, условия теоремы существования и единственности будут выполнены, если правая часть последнего уравнения у' =

= /(х, у, yj.....Уп-і) будет непрерывна в окрестности начальных

значений и будет удовлетворять условию Липшица по всем аргументам, начиная со второго, или более грубому условию существования ограниченных частных производных по всем аргументам, начиная со второго.

Итак, возвращаясь к прежним переменным х и у, окончательно получаем следующую теорему существования и единственности:

Теорема 2.1. Существует единственное решение дифференциального уравнения п-го порядка y(") = f (х, у, у', . . ., у'"-1'), удовлетворяющее условиям

функция f является непрерывной функцией всех своих аргу-. ментов и удовлетворяет условию Липшица по всем аргументам, начиная со второго.

Последнее условие может быть заменено более грубым условием существования в той же окрестности ограниченных частных производных первого порядка от функции / по всем аргументам, начиная со второго.

Общим решением дифференциального уравнения п-то порядка называется множество решений, состоящее из всех без исключения частных решений. Если правая часть уравнения

в некоторой области изменения аргументов удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, то общее решение уравнения (2.1) зависит от п параметров, в качестве которых могут быть выбраны, например, начальные значения искомой функции и ее производных у , у', у".....У0"_1)- В частности, общее решение уравнения второго порядка у"== f(x, у, у') зависит от двух параметров, например от у0 и у'. Если же фиксировать у0 и y'Q, т. е. задать
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed