Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
25. Найти форму зеркала, отражающего параллельно данному направлению псе лучи, выходящие из заданной точки.
26. у'2+у2 = 4.
27. Найти кривую, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания на равные части.
dx ~ 2х — у + 5 ' dx 1 -|- x H- У'
30. Численно проинтегрировать уравнение
U = X-Ly2, у (0) = 0.
Определить у (0,5) с точностью до 0,01.
31. Численно проинтегрировать уравнение
^ = Ay + X2, у (0) = 0.
Определить у (0,6) с точностью до 0,01.
32. у' = 1,31х — 0,2у2, у (0) = 2.
Составить таблицу пятнадцати значений у с шагом h = 0.02.
33. у = 2ху' — у'2. 34. U = cos (х — у).
35. Пользуясь методом изоклин (см. стр. 17), сделать набросок семейства интегральных кривых уравнения
dy , ,
-Zr- = х — У ¦ dx J
36. (2х + 2у — 1) dx -f (X + у — 2) dy = 0.
37. у'3— y'e2Jr = 0.
38. Найти ортогональные траектории парабол у2 + 2ах = а2.
39. Имеет ли дифференциальное уравнение у = Ъху' — (у')2 особое решение?
40. Приближенно проинтегрировать уравнение
и = л-у2, у(1)=0 методом последовательных приближений (определить у, и у2).
X
4Ly = X2+ Jl- dx.
42. Имеет ли уравнение у' = Vx — 5у + 2 особое решение?
43. (х — у) у dx — X2 dy = 0.
44. Найти ортогональные траектории семейства у' — сх6.
45. X + 5х = 10/ + 2 при t = 1, X = 2.
84 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 1
49.
rfy _ Зх — 4у — 2 dx ~ Зх — 4у -- 3 '
50. л: — л- ctg < = 4 sin t.
51. у = X2 + 2y'.v +
52. у' — Ц- -4- a3)-2 = 0.
53. у (1 + у'2) = а.
54. (X2 — y)dx + (х2у2 + X) dy = 0.
55. Найти интегрирующий множитель уравнения
(Зу2 — X) dx + 2у (у2 — Зх) dy = 0.
имеющий вид и. = и (а- 4- у2).
56. (х — у) у dx — X2 dy = 0.
57. y' = ft^.
1— х + у
58. ху' — у2 In X -f у = 0.
59. (х2 — 1) у' + 2ху —— cos X — 0.
60. (4у + 2а + 3) у' — 2у — X — 1 = 0.
61. (у2 — а) у' — у -(- а2 = 0.
62. (у2 — а2) у' + 2ху = 0.
63. Зху2у' + у3 — 2а = 0.
б4- (У')2 + (х + а) У' —~ У — 0. где а — постоянная.
65. (у')2 — 2ху'4-у = 0.
66. (у')2 + 2уу'ctgA — у2 = 0.
4 » X X2
46. X = — -\- -р- при t = 2, X = 4.
47. у = Ay' -f у'2 при JC = 2, _у = — 1.
48. у = ху' -f- у'2 при л- = 1, у = — 1.
ГЛАВА 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
§ I. Теорема существования и единственности для дифференциального уравнения «-го порядка
Дифференциальные уравнения /1-го порядка имеют вид
у(.") = f(x, у, у'.....у1"-1»). (2.1)
или, если они не разрешены относительно старшей производной, F(x, у, у'.....у(")) = 0.
Теорема существования и единственности для уравнения я-го порядка легко может быть получена путем сведения его к системе уравнений, для которой на стр. 51 теорема существования и единственности уже была доказана.
Действительно, если в уравнении yW = f(x, у, у', У"-1)) неизвестными функциями считать не только у, но и у' = ух, у" = у2.....у("-1)=уп_1, то уравнение (2.1) заменяется системой
У ==Уі. h = Ут
= /(¦*- У' У\.....Уя_і>
(2.2)
после чего уже можно применить теорему о существовании и единственности решения системы уравнений (см. стр. 51), согласно которой, если правые части всех уравнений системы (2.2) непрерывны в рассматриваемой области и удовлетворяют условию Липшица по всем аргументам, кроме х, то существует единственное решение системы (2.2), удовлетворяющее условиям
У (хо) — Уо> У\(хо) — У\о.....Уп-і(х0) = Уп-і,о-
86
УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
ггл 2
Правые части первых п— 1 уравнений (2.2) непрерывны и удовлетворяют не только условию Липшица, но даже более грубому условию существования ограниченных производных по у, у,, у2.....Уп-і-
Следовательно, условия теоремы существования и единственности будут выполнены, если правая часть последнего уравнения у' =
= /(х, у, yj.....Уп-і) будет непрерывна в окрестности начальных
значений и будет удовлетворять условию Липшица по всем аргументам, начиная со второго, или более грубому условию существования ограниченных частных производных по всем аргументам, начиная со второго.
Итак, возвращаясь к прежним переменным х и у, окончательно получаем следующую теорему существования и единственности:
Теорема 2.1. Существует единственное решение дифференциального уравнения п-го порядка y(") = f (х, у, у', . . ., у'"-1'), удовлетворяющее условиям
функция f является непрерывной функцией всех своих аргу-. ментов и удовлетворяет условию Липшица по всем аргументам, начиная со второго.
Последнее условие может быть заменено более грубым условием существования в той же окрестности ограниченных частных производных первого порядка от функции / по всем аргументам, начиная со второго.
Общим решением дифференциального уравнения п-то порядка называется множество решений, состоящее из всех без исключения частных решений. Если правая часть уравнения
в некоторой области изменения аргументов удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, то общее решение уравнения (2.1) зависит от п параметров, в качестве которых могут быть выбраны, например, начальные значения искомой функции и ее производных у , у', у".....У0"_1)- В частности, общее решение уравнения второго порядка у"== f(x, у, у') зависит от двух параметров, например от у0 и у'. Если же фиксировать у0 и y'Q, т. е. задать