Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Зная семейство интегральных кривых Ф(х, у, с) = 0 некоторого дифференциального уравнения F(x, у, у') = 0, можно определить его особые решения путем нахождения огибающей. Как известно из курса дифференциальной геометрии или из курса математического анализа, огибающая входит в состав с-дискриминантной кривой, определяемой уравнениями
Ф(х, у, C) = O иІ®=0.
однако, кроме огибающей, в состав с-дискриминантной кривой могут входить и другие множества, например множество кратных
дФ дФ ду
Чтобы некоторая ветвь о'-дцскрилшиашной кривой заведомо была огибающей, достаточно, чтобы на ней:
1) существовали ограниченные по модулю частные производные
точек кривых рассматриваемого семейства, в которых -^- = = 0.
дФ
дх
дФ
ду
о, Й , л дФ п
2) 17 ф0 или 1у-ф°-
Заметим, что эти условия лишь достаточны, так что кривые, на которых нарушено одно из условий 1), 2), тоже могут быть огибающими.
§ 91 ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ 81
6 Л. Э. Эльсгольц
Пример 3. Дано семейство интегральных кривых (у — с)2 = (х—с)л некоторого дифференциального уравнения (см. пример 2 на стр. 79). Найти особое решение того же уравнения.
Находим с-дискриминантную кривую:
(у _ с)2 = (X — cf и 2 (у — с) = 3 (X — Cf. Исключая параметр с, получим
4
у == X и X - у — •^y- = 0.
4
Прямая у = X —2у является огибающей, так как на ней выполнены все
условия теоремы об огибающей. Функция у = X не удовлетворяет дифференциальному уравнению. Прямая у==х является геометрическим местом точек возврата (см. рис. 1.30). В точках этой прямой нарушено второе условие теоремы об огибающей.
Пример 4. Дано семейство интегральных кривых
i_
у5—x-f с = 0 (1.85)
некоторого дифференциального уравнения первого порядка. Найти особое решение того же уравнения.
Задача сводится к нахождению огибающей рассматриваемого семейства. Если непосредственно применить указанный выше метод нахождения огибающей, то получим противоречивое уравнение 1 = 0, откуда казалось бы естественно сделать вывод, что семейство (1.85) не имеет огибающей. Однако
в данном случае производная от левой части уравнения (1.85) по у, ---
= -=-у 5, обращается в бесконечность при у = 0, и следовательно, не о
исключена возможность того, что у = 0 будет огибающей семейства (1.85), которую не удалось найти общим методом ввиду нарушения на прямой у = 0 условий теоремы об огибающей.
Следует преобразовать уравнение (1.85) так, чтобы для преобразованного уравнения, эквивалентного исходному, уже выполнялись условия теоремы об огибающей. Например, запишем уравнение (1.85) в виде у — (х — с)5 = 0. Теперь условия теоремы об огибающей выполнены, и, применяя общий метод, получим:
у = (X — cf, 5 (X — с)4 = 0,
или, исключая с, будем иметь уравнение огибающей у=0 (рис. 1.32). Пример 5. Дано семейство интегральных кривых
у2 — (X — cf = 0 (1.86)
некоторого дифференциального уравнения первого порядка. Найти особое решение того же уравнения.
с-дискриминантная кривая определяется уравнениями
у2 — (х — cf = 0 и X — с = 0,
82
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 1
или, исключая с, получим у — 0. На прямой у = 0 обращаются в нуль обе дФ дФ
частные производные и ¦^y от левой части уравнения (1.86), следовательно, у — 0 является геометрическим местом кратных точек кривых семейства (1.86), в данном случае точек возврата. Однако это геометрическое
Рис. 1.32.
Рис. 1.33.
место точек возврата в рассматриваемом примере является одновременно и огибающей. На рис. 1.33 изображены нолукубические параболы (1.86) и их огибающая у = ()..
Задачи к главе 1
1. tg у dx — cig X dy = 0. 10. X (In х —In у) dy — у dx = 0.
2. (12х + 5у — 9)dx+ 11. ху (у')2 — (х2 + У2) у' + •
+ (Ъх + 2у — 3) dy = 0. +ху= 0.
dx 1 X
, ,„ dx ~r , X
5. у dx — X dy = X2 у rfy. R х2 + (у')2 =
6. ~ + Зх = е21. 15. у = ху' + —.
7. у sin X + у' cos X = 1. 16- х =; (У)' - У + 2-
8. у' = ^-У. ¦ 17•4^ = —r—r-u- / " tfx x-j- у3
9. ~ = X + sin Л 18. у = (у')4 - (У')3 - 2. дг
19. Найти ортогональные траектории семейства ху = с, т. е. найти линии, ортогонально пересекающие кривые указанного семейства.
20. Найти кривую, у которой подкасательная вдвое больше абсциссы точки касания.
21. Найти кривую, у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен абсциссе точки касания.
22. Найти ортогональные траектории семейства
je2 + у2 = 2ах.
23. Считая, что скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурами тела и воздуха, решить следующую задачу: если температура воздуха равна 20° С и тело в течение
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ i 83
6*
20 мин. охлаждается от IUO до 60° С, то в течение какого времени температура гела достигнет 30° С?
24. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 10 км/час. На полном ходу ее мотор был выключен и через t = 20 сек. скорость лодки уменьшилась до v, = 6 км/час. Определить скорость лодки через 2 мин. после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.
