Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Дифференцируя тождество F (х, у, у') = 0 по у и принимая во внимание, что у' ~f(x, у), получим
ду ' ду' ду
или
dF
д/ ду
ay dF '
ду7
откуда, принимая во внимание условия 2) и 3), следует, что of
ду
в замкнутой окрестности точки (х0, у0).
Множество точек (х, у), в которых нарушается единственность решений уравнения
F(x, у, у') = 0, (1.78)
называется особым множеством.
3) существует ограниченная по модулю производная -—•,
78 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ГГЛ t
В точках особого множества должно быть нарушено по крайней мере одно из условий теоремы 1.5. В дифференциальных уравнениях, встречающихся в прикладных задачах, условия 1) и 3) обычно
выполняются, но условие 2) -^7- ф О часто нарушается.
Если условия 1) її 3) выполнены, то в точках особого множества должны одновременно удовлетворяться уравнения
F(x, у, у') = 0 и ^7- = 0. (1.80)
Исключая из этих уравнений у', получим уравнение
ф(х, у) = 0. (1.81)
которому должны удовлетворять точки особого множества. Однако не в каждой точке, удовлетворяющей уравнению (1.81), обязательно нарушается единственность решения уравнения (1.78), так как условия теоремы 1.5 лишь достаточны для единственности решения, но не являются необходимыми, и следовательно, нарушение какого-нибудь условия теоремы' не обязательно влечет за собой нарушение единственности.
Итак, только среди точек кривой Ф(х, у) = 0, называемой р-дискриминантной кривой (так как уравнения (1.80) чаще записываются в виде F(x, у, р) = 0 и -~ = 0). могут быть точки особого множества.
Если какая-нибудь ветвь у = ср(х) кривой Ф(х, у) = 0 принадлежит особому множеству и в то же время является интегральной кривой, то она называется особой интегральной кривой, а функция у=ф(х) называется особым решением.
Итак, для нахождения особого решения уравнения
F(x, у, у') = 0 (1.78)
надо найти /?-дискриминантпую кривую, определяемую уравнениями F(x, у, р) = 0, -jg- = 0,
выяснить путем непосредственной подстановки в уравнение (1.78), есть ли среди ветвей jO-дискриминантной кривой интегральные кривые, и, если такие кривые есть, то еще проверить, нарушена ли в точках этих кривых единственность или нет. Если единственность нарушена, то такая ветвь /?-дискриминантной кривой является особой интегральной кривой.
Пример 1. Имеет ли уравнение Лагранжа у = 2ху' — (у')2 особое решение?
Условия 1) и 3) теоремы существования и единственности выполнены, р-дискриминантная кривая определяется уравнениями: у = 2хр -- рг,
§ 91
ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ
79
2л-—2р = 0, или, исключая р, у = х'1. Парабола у = х2 не является интегральной кривой, так как функция у = х2 не удовлетворяет исходному уравнению. Особого решения нет.
Пример 2. Найти особое решение уравнения Лагранжа
27
(1.82)
Условия 1) и 3) теоремы существования и единственности выполнены. /7-дискриминантная кривая определяется уравнениями
X - У = Ґ - 27 Ґ
Из второго уравнения находим р = 0 или р=1; подставляя в первое уравнение, получим:
4
у = X или у = X — -gy--
Лишь вторая из этих функций является решением исходного уравнения.
Рис. 1.30. Рис. 1.31.
4
Для того чтобы выяснить, будет ли решение у = X — особым, надо
проинтегрировать уравнение (1.82) и выяснить, проходят ли через точки пря-
„4 „
мои у = X — "27- по направлению этой прямой другие интегральные кривые.
Интегрируя уравнение Лагранжа (1.82), получим:
(у — с)2 = (X — с)3. (1.83)
4
Из уравнения (1.83) и рис. 1.30 видно, что прямая у = х — -^- является
огибающей семейства полукубических парабол (у — с)2 = (х — с)3 и, следо-
4
вательно, в каждой точке прямой у = х — нарушена единственность — по
одному и тому же направлению проходят две интегральные кривые: прямая
4 „ „
у = X — -=- и касающаяся этой прямой в рассматриваемой точке полукубическая парабола.
80
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ГГЛ. I
Итак, особым решением является у = х — ~.
В этом примере огибающая семейства интегральных кривых является особым решением.
Если огибающей семейства
Ф(х, у, с) = 0 (1.84)
называть кривую, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой семейства (1.84) и каждого отрезка которой касается бесконечное множество кривых рассматриваемого семейства, то огибающая семейства интегральных кривых некоторого уравнения F(x, у, у')== 0 всегда будет особой интегральной кривой.
Действительно, в точках огибающей значения х, у и у' совпадают со значениями х, у и у' для интегральной кривой, касающейся огибающей в точке (х, у), и следовательно, в каждой точке огибающей значения х, у и у' удовлетворяют уравнению F(x, у, у') = 0, т. е. огибающая является интегральной кривой (рис. 1.31). В каждой точке огибающей нарушена единственность, так как через точки огибающей по одному направлению проходят по крайней мере две интегральные кривые: огибающая и касающаяся ее в рассматриваемой точке интегральная кривая семейства (1.84). Следовательно, огибающая является особой интегральной кривой.
