Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
й лишь обозначением параметра отличаются от уравнений (1.74) (рис. 1.27).
Замечание. Как известно, уравнения (1.75) могут определять,
кроме огибающей, геометрические места кратных точек, а иногда
, • М>
и другие кривые, однако если хотя бы одна из производных
дФ ,
и -^y- отлична от нуля и,обе ограничены в точках, удовлетворяющих уравнениям (1.75), то эти уравнения определяют только огибаю-
„ дФ дФ
щую. В данном случае эти условия выполнены: -^= — с, -^-=1.
Следовательно, уравнения (1.75) определяют огибающую, которая может выродиться в точку, если семейство (1.73) является пучком прямых.
В первом случае, исключая р, получим:
у = сх г|> (с) (1.73)
— однопараметрическое семейство интегральных прямых. Во втором случае решение определяется уравнениями
s 91 особые решения 75
§ 9. Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Особые решения
В § 6 была доказана теорема существования и единственности
решения у (х) уравнения = f (х, у), удовлетворяющего условию
у(х0) = у0. Аналогичный вопрос возникает и для уравнений вида F (х, у, у') = 0. Очевидно, что для таких уравнений через некоторую точку (х0, Уо), вообще говоря, проходит уже не одна, а несколько интегральных кривых, так как, разрешая уравнение F (х, у, у') = 0 относительно у', мы, как правило, получаем не одно, а несколько действительных значений yf = fi(x, у) (і= 1, 2, . . .), и если каждое из уравнений у' = (х, у) в окрестности точки (хо- Уо> удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности § 6, то для каждого из этих уравнений найдется единственное
Пример 6.
у = ху' — у'1 — уравнение Клеро.
Однопараметрическое семейство интегральных прямых имеет вид у = сх — с2. Кроме того, интегральной кривой является огибающая этого семейства, определяемая уравнениями у = сх — с2 и х — 2с = 0. Исключая с,
X2
получаем у = — (рис. 1.28). Пример 7.
у = 2ху' — у'3 — уравнение Лагранжа. У' = Р>
у = 2хр — р3. (1.76)
Дифференцируя, получаем
р = 2р + 2х %-Ъ?% (1.77)
dp
и после деления на -— приходим к уравнению
P % +
с 3
Интегрируя это линейное уравнение, получаем х = —L -{- — р2. Следовательно, интегральные кривые определяются уравнениями у = 2хр— р'3, с, Зр2
При делении на -^-, как указывалось выше, теряются решения p = ph
где — корни уравнения /? — ф (р) = 0. В данном случае теряется решение р = 0 уравнения (1.77), которому, в силу уравнения (1.76), соответствует решение исходного уравнения у = 0.
76
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ГГЛ. I
решение, удовлетворяющее условию у(х0) = у0. Поэтому свойство единственности решения уравнения F(x, у, у') = 0, удовлетворяющего условию у (х0) = у0, обычно понимается в том смысле, что
Рис. 1.29.
через данную точку (х0, у0) по данному направлению проходит не более одной интегральной кривой уравнения F (х, у, у') = 0.
Например, для решений уравнения {^fx-) — 1 = 0 свойство единственности всюду выполнено, так как через каждую точку (х0, у0) проходят две интегральные кривые, но по различным направлениям. Действительно,
dy
-JL=±\, у = х + с и у = —X+ с.
Для уравнения (y')2 — (х + у) у' + ху = 0, рассмотренного на стр. 68, в точках прямой у = X свойство единственности нарушено, так как через точки этой прямой проходят интегральные кривые уравнений у' = х и у' = у по одному и тому же направлению (рис. 1.29).
Теорема 1.5. Существует единственное решение у = у (х), X0 — я0 X ^ х0 -4- A0, где п0 достаточно мало, уравнения
F(x, у, у') = 0, (1.78)
удовлетворяющее условию у(х0) = у0, для которого у'(х0) = У0, где у'0— один из действительных корней уравнения F (х0, у0, у')=0, если в замкнутой окрестности точки (х0, у0, у0) функция F(x, у, у') удовлетворяет условиям:
1) F (х, у, у') непрерывна по всем аргументам;
2) производная -p—j существует и отлична от нуля;
$ 9] ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ Tt
ду
Доказательство. Согласно известной теореме о существовании неявной функции можно утверждать, что условия 1) и 2) гарантируют существование единственной непрерывной в окрестности точки (л;0, SV0) функции у'=/(х, у), определяемой уравнением (1.78) и удовлетворяющей условию У0 —f (xQ, у0). Остается проверить, будет ли функция /(х, у) удовлетворять условию Липшица или более грубому условию -^- ¦^,Nb окрестности точки
ду
(х0, у0), так как тогда можно будет утверждать, что уравнение
/ = /(*, у) (1.79)
удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности (см. § 6, стр. 40) и, следовательно, существует единственное решение уравнения (1.79), удовлетворяющее условию у (х0) — у0, а вместе с тем существует единственная интегральная кривая уравнения (1.78), проходящая через точку (х0, у0) и имеющая в ней угловой коэффициент касательной у'
Согласно известной теореме о неявных функциях можно утверждать, что при выполнении условий 1), 2), 3) производная существует и может быть вычислена по правилу дифференцирования неявных функций.
