Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
§ 8) УРАВНЕНИЯ. НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ 7[
Действительно, если у = ср(у/). то, полагая у'=t, получим
>=Ф(0, dx = f = ^L,
X = J^SDJL + C
Пример 4.
У — (У')5 + (У')3 -Ь У' + 5. Полагаем у' = t; тогда
y = ^+^ + i + 5i (Ш)
ix - rfy _ (5*4 + у' *
^3 + 3/+-f) dt.
* = -X + -x + ln|^|+?. (1.63)
Уравнения (1.62) и (1.63) являются параметрическими уравнениями семейства интегральных кривых. Пример 5.
Полагаем у' = sh t, тогда
у = Ch г, (1.64)
rfy sh t dt
dX = —+ = -:- = dt, .
у sht
x = t + c (1.65)
или, исключая из (1.64) и (1.65) параметр t, получаем у = ch (х — с).
Рассмотрим теперь общий случай: левая часть уравнения
F(x, у, у') = 0 (1.51)
зависит от всех трех аргументов х, у, у'. Заменим уравнение (1.51) его параметрическим представлением:
х = ф(и, TJ), у = ф(и, V), у' = X(и, v). Пользуясь зависимостью dy = у' dx, будем иметь
?,. + ?*,_,<<.. „[?,.+?„,].
откуда, разрешая относительно производной , получим
у (и, V) -г=----
dv '• du du
du chb , . dw ~--у (и, v) —^-
(1.66)
В результате получено уравнение первого порядка, уже разрешенное относительно производной, и тем самым задача сведена к уже
72 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. !
dy^p^dy + JLdp]
или
1 — df л- df dP л 7m
Интегрируя уравнение (1.70), получим Ф(у, р, с) = 0. Это уравнение совместно с X =/(у, р) определяет интегральные кривые исход-
рассмотренной в предыдущих параграфах, однако, конечно, полученное уравнение (1.66) далеко не всегда будет интегрироваться в квадратурах. Если уравнение
F(x, у, у') = О
легко разрешимо относительно у, то за параметры и и v часто удобно брать X и у'. Действительно, если уравнение (1.51) приводится к виду
у=/(х, у'), (1.67)
то, считая X и у' = р параметрами, получим
у—/(х.р), dy^-^dx + ^ dp
или
JL=JLj-JLJL. dx дх ' dp dx '
Интегрируя уравнение (1.68) (конечно, оно далеко не всегда интегрируется в квадратурах), получим Ф(х, р, с) — 0. Совокупность уравнений Ф(х, р, с)=0 и y = f(x, р), где р—параметр, определяет семейство интегральных кривых.
Заметим, что уравнение (1.68) может быть получено дифференцированием уравнения (1.67) по х. Действительно, дифференцируя
(1.67) по X и полагая у'==р, получим = —j—-^^-, что совпадает с (1.68). Поэтому этот метод часто называют интегрированием дифференциальных уравнений с помощью дифференцирования. Совершенно аналогично часто интегрируется уравнение
F(x, у, у') = 0,
если оно легко разрешимо относительно х:
X = /(у, у'). (1.69)
В этом случае, взяв за параметры у и у'= р и пользуясь зависимостью dy = у' dx, получим
§ 8] уравнения, не разрешенные относительно производной 73
или
(х + г|/ (P))^-z=O
откуда или -|?- = 0 и, значит, р = с, или х -f-i|>' (р) — 0.
ного уравнения. Уравнение (1.70) может быть получено из уравнения (1.69) дифференцированием по у.
В качестве примера применения этого метода рассмотрим линейное относительно X Vl у уравнение
у = х<р (у') + 1J) (у'),
называемое уравнением Лагранжа. Дифференцируя по х и полагая у' = р, получим j,
Р = У(Р) + х<Р'(Р)^ + Ъ'(р)^, (1.71)
или
rl у
[/>-ф (P)I-j-^ = V (/>) + *'(/>)¦ (1-72)
Это уравнение линейно относительно х и ~^ и, следовательно,
легко интегрируется, например, методом вариации постоянной. Получив интеграл Ф(х, р, с) = 0 уравнения (1.72) и присоединяя к нему у = Хф (р) —I— "ф (р), получим уравнения, определяющие искомые интегральные кривые.
При переходе от уравнения (1.71) к уравнению (1.72) пришлось
делить на ^~ _ Но при этом мы потеряем решения, если они существуют, для которых р постоянно, а значит -^-= 0. Считая р постоянным, замечаем, что уравнение (1.71) удовлетворяется лишь в том случае, если р является корнем уравнения р—ф(/?) = 0.
Итак, если уравнение р — ф(р) = 0 имеет действительные корни P = P1, то к найденным выше решениям уравнения Лагранжа надо еще добавить у — хф (р) -j- ty(p), P = Pi. или, исключая р, у — хц>(Рі) -{-tyiPi) — прямые линии.
Отдельно надо рассмотреть случай, когда р — ф (^) = 0, и сле-
dp
довательно, при делении на теряется решение р = с, где с —
произвольная постоянная. В этом случае ф(у') = у' и уравнение у z= хф (y') + if (у') принимает вид
у z= Xу' -|-i|}(y') — уравнение Клеро.
Полагая у' = р, получим у = хр -\- ty(p). Дифференцируя по х, ' будем иметь:
74 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ГГЛ. !
у = хр -jr^(p) и х-\~$'(р) = 0.
(1.74)
Нетрудно проверить, что интегральная кривая, определяемая уравнениями (1-74), является огибающей семейства интегральных прямых (1.73).
,У
г/
Рис. 1.27.
Рис. 1.28.
Действительно, огибающая некоторого семейства Ф(х, у, с) = О определяется уравнениями
Ф(*. у, C) = O и ^ = O1 (1.75)
которые для семейства у = сх -)- ij> (с) имеют вид
у = CX + \|) (С), X + \|/(с) = 0
