Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Пример.
у' = jf» + у»; у (0) = -1.
Найти значение у (0,5) с точностью до 0,01.
Воспользовавшись разложением по формуле Тейлора
yW-y(o)+/(0),+^f^+q^+....
вычисляем значение у (х) в точках х{ =0,1 и X2 = 0,2:
у (0,1) = — 0,9088 и у (0,2) = — 0,8309
(или вместо у (0,2) вычисляем у(—0,1), что даже предпочтительнее, так как точка X1= — 0,1 лежит ближе к начальной точке X0 = 0, чем точка X1 = 0,2). Дальнейшие значения вычисляем по формуле Штермера (1.43) с шагом Ii = 0,1, а результаты вычисления заносим в таблицу (без разностей Д3^). После этого или параллельно проводим вычисления с шагом Ii
-^- = 0,05. В результате получим:
у (0,5) и —0,63.
68
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. 1
§ 8. Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительно
производной
Дифференциальное уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет вид
F(x. у, у') = 0.
(1-51)
Если это уравнение удается разрешить относительно у', то получаем одно или несколько уравнений
У'= /,(*. У) (*=1. 2, ...).
Интегрируя эти, уже разрешенные относительно производной уравнения, найдем решения исходного уравнения (1.51).
Проинтегрируем, например, уравнение
(У')2-(*+у)у' + л;у = 0. (1-52)
Разрешая это квадратное уравнение относительно у', будем иметь: у' = X и у' = у. Интегрируя каждое из полученных уравнений, находим:
Xі
Рис. 1.24.
ков решений у = —+ с
+с (1.53)
у — сех (1-54)
(рис. 1.24). Оба семейства решений удовлетворяют исходному уравнению.
Гладкими интегральными ' кривыми уравнения (1.52) будут также кривые, составленные из дуги интегральной кривой семейства (1.53) и дуги интегральной кривой семейства (1.54), если в общей точке они имеют общую касательную. На рис. 1.25 изображена интегральная кривая уравнения (1.52), составленная из графи-при с = —, —оо<х<1, и у = сел при
1<х<оо, а на рис. 1.26 — интегральная кривая уравнения (1.52),
составленная из графиков решений у == ' Итак, уравнение
F(x. у, у') = О
при х .< О и у == 0 при X > 0.
(1.51)
может быть проинтегрировано путем разрешения относительно у' и интеграции полученных при этом уравнений у' = /, (х, у) (/=1, 2, ...), уже разрешенных относительно производной.
УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ
69
Однако далеко не всегда уравнение (1.51) легко разрешается относительно у' и еще реже полученные после разрешения относительно у' уравнения y' = fl(x, у) легко интегрируются, поэтому
о
Рис. 1.26.
часто приходится интегрировать уравнения вида (1.51) иными методами. Рассмотрим следующие случаи. 1. Уравнение (1.51) имеет вид
F (у') = О, (1.55)
причем существует по крайней мере один действительный корень у' = kt этого уравнения.
Так как уравнение (1.55) не содержит х и у, то K1 — постоянное. Следовательно, интегрируя уравнение у' = kt, получим у = ktx -j- с,
У г с , но kt является корнем уравнения (1.55), следова-= 0 является интегралом рассматриваемого урав-
или kl = -
тельно, F нения.
Пример 1.
Интеграл уравнения
(у')7-(у')5 + у' + з = о.
у ¦
+ 3 = 0.
2. Уравнение (1.51) имеет вид
F(x, у') = 0.
(1.56)
Если это уравнение трудно разрешить относительно у', то целесообразно ввести параметр / и заменить уравнение (1.56) двумя уравнениями: х = <р(/) и у'=ty(t). Так как dy = y'dx, то в данном случае dy = i|) (t)ф' (t)dt, откуда у = J* лр(^) ф' (t) dt +-с и, следовательно, интегральные кривые уравнения (1.56) определяются
70 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. 1
в параметрической форме следующими уравнениями:
х = ф (7), у = j ф (г*) ф' (f) 4- с-
Если уравнение (1.56) легко разрешимо относительно х, х=ф(/), то почти всегда удобно в качестве параметра ввести у' = t. Тогда
X = ф (0, fify = у' dx = top' (jt) dt, у = J tq>' (t) dt + с. Пример 2.
x = (y')3-y'-i-
Положим у' = U тогда
х = Р — t— 1, (1.57)
rfy = у' rfx = *(3/2 — 1)Л, З/4 /2 ,
у = Т"~Т + е" (1,58)
Уравнения (1.57) и (1.58) определяют в параметрической форме семейство искомых интегральных кривых. Пример 3.
^Yl+у'2 = у'-
Полагаем у' = igt, —— < t < ~; тогда
X = sin г, (1.59)
dy = у' dx = tgt cos t dt = sin / rf?
У=—COS^-P-C1 (1.60)
или, исключая t из уравнений (1.59) и (1.60), получим x2-j-(y— с,)2=1 — семейство окружностей.
3. Уравнение (1.51) имеет вид
F(y, /) = 0. (1.61)
Если это уравнение трудно разрешить относительно у', то, как и в предыдущем случае, целесообразно ввести параметр t и заменить уравнение (1.61) двумя уравнениями: у = ф(г) и y' = \|)(jf). 'Гак
^ / . rfy ф' m dt Г ф' (П д7 ,
как dy = y dx, то dx = -f-=v^t) , откуда х = J ^ + с.
Следовательно, искомые интегральные кривые в параметрической форме определяются уравнениями
f<?'(t)dt .
x = ,l —^С и У = Ф(0-
В частности, если уравнение (1.61) легко разрешимо относительно у, то обычно за параметр удобно взять у'.
