Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
5 7] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ 65
Результаты вычисления заносятся в приводимую ниже, постепенно заполняющуюся таблицу.
X
У
Q
l\q
Д2?
Д3?
Xq
Уо
I
Qo j ^Qo
і
\3q„
X1
У\
Qi
Уч
Qi
Уз
Чъ
!
X6
Обычно требуется вычислить значение искомого решения дифференциального уравнения в некоторой точке х = Ь с заданной точностью. При этом сейчас же возникает вопрос, какой из формул Штермера целесообразно пользоваться и какой шаг h гарантирует требуемую точность вычислений и в то же время не является чрезмерно малым и тем самым не приводит к лишним вычислениям. Некоторое Представление о выборе формулы, по которой целесообразно вести вычисления, и о выборе шага дают указанные выше порядки погрешностей при каждом шаге, при этом, конечно, надо иметь в виду, что при нескольких шагах погрешности могут суммироваться. При правильном выборе шага h все разности в таблице должны меняться плавно, а последние разности в формуле (1.44) должны влиять лишь на запасные знаки. Резкое изменение какой-нибудь разности указывает на то, что при выбранном шаге h могут оказаться неучтенными особенности изменения функции на рассматриваемом отрезке, что может повлечь за собой значительные ошибки при вычислении ук+г.
Однако все эти соображения не являются вполне надежными, а более точные оценки погрешности оказываются весьма громоздкими и неудобными. Поэтому обычно применяют следующий практически достаточно надежный метод: выбрав, исходя из указанных выше неточных
5 Л. Э. Эльсгольц
66 дифференциальные уравнения первого порядка (гл. i
соображений, некоторый шаг Л, проводят вычисления но одной из формул
Штермера с шагом h и -у и сравнивают результаты в общих точках.
Если в пределах заданной точности результаты совпадают, то считают, что шаг h обеспечивает заданную точность вычисления; если же результаты в пределах заданной точности не совпадают, то снова
Ii h
уменьшают шаг вдвое и проводят вычисления с шагом ~ и -j и опять сравнивают результаты и т. д.
Вычисления с шагом h и -|- целесообразно проводить параллельно, чтобы как можно раньше заметить несовпадение результатов и не производить лишней работы. Этот способ двойного счета имеет еще то преимущество, что при его применении почти полиостью исключаются ошибки в вычислениях, так как они, как правило, немедленно обнаруживаются при сравнении результатов вычислений
/ h с шагом пи—.
Для нахождения нескольких первых значений yt, необходимых для начала вычислений по методу Штермера, кроме указанных выше способов (метод Эйлера с уменьшенным шагом с итерациями или без итераций или метод разложения по формуле Тейлора), можно рекомендовать еще метод Рунге.
По методу Рунге для нахождения ук+\ надо вычислить четыре числа:
,, ч , / , h і m.h \
Щ=/(хк< ук). «2==/-^ + -9-. У* + —5-).
h fc. ' (I-49)
Щ = /[хк+-2' у" + —2-)' m4 = f(Xk+n' У* + ^з«),
и тогда
Ук+\ == У* + if (mi H- 2т2 + 2т3 + m4). (1.50)
Обычно метод Рунге применяется лишь для вычисления нескольких
первых значений ух, у2.....необходимых для начала вычисления по
методу Штермера, однако можно этим методом вычислять и остальные значения. Метод Рунге, так же как и метод Штермера, основан на аппроксимации искомой интегральной кривой соприкасающейся параболой.
Если сравнить правую часть формулы Рунге (1.50) с разложением по формуле Тейлора
у*+>=у к+ykh 4- т\ у?2.+ L у;"/*3+і уГ«4 + • •..
то окажется, что члены со степенями ниже пятой совпадают. Поэтому при вычислении нескольких начальных значений по методу Рунге
§ 7] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИИ 67
*) Более подробно о приближенных методах интегрирования дифференциальных уравнений можно прочесть в книгах А. Н. Крылова [6] и И. С. Березина и Н. П. Жидкова [7] (см. рекомендуемую литературу).
5*
с переходом затем на вычисление по методу Штермера по формулам (1.42), (1.43) или (1.44) можно вычисление вести с тем же шагом я; если же в дальнейшем'применяется формула Штермера (1.45), то начало вычисления по методу Рунге надо вести с уменьшенным шагом, так как при одном и том же шаге формула (1.50) не гарантирует той точности вычислений, какую гарантирует формула (1.45). Впрочем, нередко даже при использовании формул Штермера (1.43) и (1.44) начало вычислений все же ведут по формулам Рунге с уменьшенным шагом, так как даже небольшая погрешность в вычислении исходных для формул Штермера значений может резко уменьшить точность дальнейших вычислений *).
Современные быстродействующие вычислительные машины дискретного действия позволяют выполнить указанные выше вычисления по методу Штермера или Рунге с необычайной быстротой (многие десятки и даже сотни тысяч операций в секунду), причем и процесс программирования может быть значительно упрощен применением стандартных программ, разработанных для методов Штермера и Рунге. При этом при приближенном интегрировании дифференциального уравнения y'=f(x, у), у(х0) = у0, надо составить лишь подпрограмму для вычисления значений у'к = f (xk, yft) и включить ее в стандартную программу.
