Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
59
Правые части данного уравнения и уравнения
dx dy
разрывны
в точке х = 0, у = 0. Интегрируя уравнение, получаем у —--семейство
гипербол (рис. 1.20) и прямую х = 0. В начале координат — особая точка, называемая седлом. Пример 5.
dy = л+у dx X — у "
Правые части данного уравнения и уравнения
dx
разрывны
dy X +у
в точке х = 0, у = 0. Интегрируя рассматриваемое однородное уравнение (сравните с примером 3 на стр. 36), получим:
у
,__arctg —
fx2 -\-у2=се х ,
или в полярных координатах р = сеф—логарифмические спирали (рис. 1.21). Особая точка такого типа называется фокусом. Пример 6.
dy _ X dx ~ у'
п dx у
Правые части данного уравнения и уравнения -jy = —^ разрывны
в точке X = 0, у = 0. Интегрируя уравнение, получаем х2 -)- у2 = с2 — семейство окружностей с центром в начале координат (рис. 1.22). Особая точка
¦У і
Рис. 1.21.
Рис. 122.
такого типа, т. е. особая точка, окрестность которой заполнена семейством замкнутых интегральных кривых, называется центром. В этом примере не существует решения, удовлетворяющего условию у (0) = 0.
К вопросу об особых точках и их классификации мы с несколько иной точки зрения еще вернемся в главе 4.
Второе условие теоремы 1.1 существования и единственности решения — условие Липшица, или более грубое условие, требующее
существования ограниченной частной производной 4^-, чаще всего
60
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
ГГЛ. I
нарушается в точках, при приближении к которым
ченнно возрастает, т. е. в точках, в которых
1
IL
ду
JlL
ду
неограни-
= 0.
Уравнение -gj- = 0, вообще говоря, определяет некоторую кри-
17
вую, в точках которой может быть нарушена единственность. Если в точках этой кривой единственность нарушена, то кривая будет особой, если, кроме того, эта кривая окажется интегральной, то получим особую интегральную кривую. Возможно, что кривая 1 _а
Ж
- ду
имеет несколько ветвей, тогда для каждой ветви надо решить вопрос о том, будет ли эта ветвь особой кривой и будет ли она интегральной кривой.
Пример 7. Имеет ли уравне-
ние -~ = у2 -j- х2 особое решение?
Условия теоремы существования и единственности выполнены в окрестности любой точки, следовательно, особого решения нет.
Пример 8. Имеет ли уравне-
Рис. 1.23. ние -~ = ]/^(у — х)2 + 5 особое ре-
шение?
д/ 2 . -Т
Правая часть непрерывна, но частная производная = у (у — х)
неограниченно возрастает при приближении к прямой у = х, следовательно, на прямой у = X может нарушиться единственность. Но функция у = х не удовлетворяет рассматриваемому уравнению, следовательно, особого решения нет.
Пример 9. Имеет ли уравнение = |/(у — х)2 + 1 особое решение?
Как и в предыдущем примере, уравнение —^j- — 0 имеет вид у = х, но
на этот раз функция у = х удовлетворяет данному уравнению. Остается выяснить, нарушена ли единственность в точках этой прямой. Заменой переменных Z = у — X приводим исходное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, после чего без труда находим решение: у — х =
§ 7] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИИ 61
= -—Кривые этого семейства проходят через точки графика решения у = x (рис. 1.23). Следовательно, в каждой точке прямой у = х единственность нарушена и функция у = х является особым решением.
Этот пример показывает, что одной непрерывности правой части в уравнении
¦^j = / (•*. у), у (x0) = у0,
недостаточно для единственности решения основной начальной задачи, однако можно доказать, что существование решения при этом уже обеспечивается.
§ 7. Приближенные методы интегрирования уравнений первого порядка
В предыдущем параграфе мы уже познакомились с двумя приближенными методами интегрирования дифференциальных уравнений: методом Эйлера и методом последовательных приближений. Однако оба эти метода имеют существенные недостатки, в силу которых ими сравнительно редко пользуются в практике приближенных вычислений.
Достоинства приближенных методов оцениваются по точности даваемых ими результатов и по простоте вычислений. Недостатками метода последовательных приближений являются сравнительно медленная сходимость приближений к решению и сложность вычислений. Недостатком метода Эйлера является малая точность, для повышения которой приходится брать весьма малый шаг h, что приводит к длительным вычислениям.
Впрочем, небольшое усовершенствование метода Эйлера, так называемое уравнивание (или итерация), приводит уже к довольно удобной вычислительной схеме. При применении метода Эйлера с уравниванием делят отрезок х0 <^ х ^ Ь, на котором надо вычислить решение уравнения -^-= /(¦*> У), определяемое условием
I)_х
у(х0) = у0, на равные части длиной я = —^-2-. Обозначая X0-j-M = X11, у(X0 + Щ = ук, у'(x0 + kh) = yk, вычисляют yk+v если уже найдено ук, в начале по формуле Эйлера:
У*+1 = У* + АУ» или ДУ* = — У, *= (1-39)
