Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
56 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. t
f (t, X (t, її), ц -f- Дц.) — f(t, X (t, її), її) Ддх
A(i ' A(x
= 0,
t=ta
решение которого единственно и при стремлении приращения A[x по любому закону к нулю стремится к единственному решению уравнения
dt - дх z + ^' ZV°>-V-
Теорема 1.4 (о диффе ре нцируе мости решений). Если в окрестности точки (х0, у0) функция /(х, у) имеет непрерывные производные до k-го порядка включительно, то решение у(х) уравнения
¦?- = /(х, у). (1.37)
удовлетворяющее начальному условию у(х0) = у0, в некоторой окрестности точки (х0, у0) имеет непрерывные производные до (k -4-1)-го порядка включительно.
Доказательство. Подставляя у(х) в уравнение (1.37), получаем тождество
-g- = /(x, у (X)), (1.37,)
и следовательно, решение у (х) имеет в некоторой окрестности рассматриваемой точки непрерывную производную /(х, у(х)).
Аналогичное утверждение справедливо и для системы уравнений
Xi(t) = fi(t, X1, X2.....хп, и,) {1=1, 2.....я),
причем в этом случае предполагается, что функции /( непрерывны по первому аргументу и аналитически зависят от всех остальных аргументов.
Подробное доказательство этой теоремы, как и других теорем, требующих применения теории аналитических функций, мы не приводим, отсылая читателя к статье А. Н. Тихонова [4], где дано наиболее простое доказательство теоремы об аналитической зависимости решения от параметра.
Идея доказательства А. Н. Тихонова сводится к следующему: считая, что и. может принимать и комплексные значения, доказывается существова-Д X (t, и) дх
ние предела lim .-=¦ -^- , что и означает аналитическую зависимо Au. да
мость решения от її. Существование этого предела следует из того, что Д.,х
отношение -^— удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению
d Ax f (t, x(t, її 4-Дц), ii-j-Ди) — f(t, x(t, її), її 4-Дії) Д|лх (t, її) dt Д[х — Д^х (t, Ll) Дії
« 61 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 57
Тогда, в силу существования непрерывных производных функции /, будет существовать непрерывная вторая производная решения
dx2 -~ дх ^ ду dx~ дх^ ду 1КХ' У (Х))-
Если k > 1, то, в силу существования непрерывных производных второго порядка функции /, можно, дифференцируя еще раз тождество (1.37х), обнаружить существование и непрерывность третьей производной решения
?L—o1L*<? JlL. f л. ?L я л. iL (EL ^<LL А
dx3 ~~ дх2 "~>~ дх ду J ду2 J ду \ дх ^ ду 1}'
Повторяя это рассуждение k раз, докажем утверждение теоремы.
Рассмотрим теперь точки (х0, у0), в окрестности которых решения уравнения -~- = f(x, у), удовлетворяющего условию у(х0) = у0,
не существует или решение существует, но не единственно. Такие точки называются особыми точками.
Кривая, состоящая сплошь из особых точек, называется особой. Если график некоторого решения сплошь состоит из особых точек, то решение называется особым.
Для нахождения особых точек или особых кривых надо прежде всего найти множество точек, в которых нарушены условия теоремы о существовании и единственности решения, так как только среди таких точек могут быть особые. Конечно, не каждая точка, в которой нарушены условия теоремы о существовании и единственности решения, обязательно является особой, так как условия этой теоремы достаточны для существования и единственности решения, но они не являются необходимыми.
Первое условие теоремы существования и единственности решения (см. стр. 40) нарушается в точках разрыва функции f(x. у), причем если при приближении по любому пути к некоторой изолированной точке разрыва (х0, у0) функция / (х, у) неограниченно возрастает по модулю, то в тех задачах, в которых переменные х и у
dv
равноправны, как мы условились выше, уравнение -^ = /(х, у)
, dx 1
должно быть заменено уравнением —— = —---, для которого
"У / У)
правая часть уже непрерывна в точке (х0, у0), если считать
-гА-; = 0.
/(¦«о. Уо)
Следовательно, в задачах, в которых переменные х и у равноправны, первое условие теоремы существования и единственности
нарушается в тех точках, в которых и функция /(х, у) и ^^
разрывны.
58 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
(1.38)
Рис. 1.19.
Рис. 1.20.
точках (х0, у0), в которых M(X0, у0) = N (х0, у0) = 0 и не существует пределов
Hm M (X1 у) х-=>х N(x, у)
У-»У '
и
lim N (х, у)
х-+хп м (х, у) "
У-»У
Рассмотрим несколько типичных особых точек уравнения (1.38). Пример 3
dy _ 2у dx ~ X
_ dx X
Правые части данного уравнения и уравнения -^y = разрывны
в точке X = 0, у == 0. Интегрируя уравнение, получим у = сх2 — семейство парабол (рис. 1.19) и х = 0. В начале координат — особая точка, называемая узлом.
Пример 4.
dy у dx x'
Особенно часто приходится рассматривать уравнения вида
dy_ M (х, у)
dx N(x, у)' '
где функции М(х, у) и /V(Jf1 у) непрерывны. В этом случае функ-
M (х, у) N (х, у) , ции -——«у и -щ—будут одновременно разрывны лишь в тех
