Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
, х6\ X3 X7
^ + -9^=3 +63'
Г Г 2 і /х3 і X7\2l j X3 , JC7 i. , 2х< , Л
y3 = J +ІТ+бз) ]^ = Т + бз(1 + -зз- + 9^
о
Пример 2. При каких ограничениях линейное уравнение
g + p(x)y = /(x)
удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.
Для выполнения первого условия теоремы достаточно, чтобы на рассматриваемом отрезке изменения х, я, < х ^ а2, функции р (х) и / (х) были бы непрерывны. При этом будет выполнено и второе условие теоремы существования и единственности, так как частная производная по у от правой dy
части уравнения = — P (х) у -j- / (х) равна — р (х) и вследствие непрерывности функции р (X) на отрезке я, <; х < а2 ограничена по модулю (см. стр. 42). Итак, если р (х) и / (х) непрерывны на отрезке я, < х ^ а2, то через каждую точку (х0, у0), где а, < X0 < а2, a у0 задается произвольно, проходит единственная интегральная кривая рассматриваемого линейного-уравнения.
Следовательно, если выбрать по^^' где 0<а<1, или
Nnh0 a < 1, то условие 2) принципа сжатых отображений будет удовлетворено и будет существовать единственная неподвижная точка Y, причем ее можно найти методом последовательных приближений. Но условие Y = A(Y) по определению оператора А эквивалентно тождествам
x
У і = У ю + J // (х- Vi- У2.....Уп) dx (/=1,2,..., я),
54 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
Теорема 1.2 (о непрерывной зависимости решения от параметра и от начальных значений). Если правая часть дифференциального уравнения
g = /(x, у, (і) . (1.34)
непрерывна по ц, при P0 ^ !-1^Cl1i 11 удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, причем постоянная Липшица N не зависит от р, то решение у(х, р) рассматриваемого уравнения, удовлетворяющее условию у(х0) — у0, непрерывно зависит от р.
Строим ломаные Эйлера уп = уп(х, р), являющиеся непрерывными функциями р, и, повторяя рассуждения на стр. 40—45, получим, что последовательность у„(х, р) сходится равномерно не только по х, но и по (-і при X0 < X <; X0 ~\- И, Ио^рКщ, так как NnH
не зависят от р, если H < min ^a, -^-, ~) , где M (х, у, р) |. Следовательно, решение у = у (х, р) уравнения
X
У=Уо + j f(x, у, р) dx, , (1.35)
Xx
являющееся пределом последовательности у„(х, р), непрерывно не только по х, но и по р.
Замечание. Если применить к уравнению (1.35) метод последовательных приближений, то последовательные приближения у = — Уп(х' I1)' являющиеся непрерывными функциями X и |х, равномерно сходятся к решению у(х, р) уравнения (1.35) (так как а = = Nh < 1 не зависит от р). Следовательно, и этим методом можно доказать непрерывную зависимость решения от х и р.
Очевидно, что доказательство нисколько не изменится, если правая часть уравнения (1.34) является непрерывной функцией нескольких параметров в предположении, конечно, что постоянная Липшица N от них не зависит.
Тем же методом при аналогичных условиях можно было бы доказать непрерывную зависимость решения у(х, х0, у0) уравнения
¦~ = /(х, у) от начальных значений X0 и у0, при этом пришлось бы
лишь несколько уменьшить H0, так как в противном случае решения, определяемые начальными значениями, близкими к х0, у0, могли бы выйти из области D уже при значениях х, лежащих на интервале X0 — й0 < X < X0 -)- п0.
Однако еще проще заменой переменных свести вопрос о зависимости решения от начальных значений к уже рассмотренному выше
§ 6] ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
55
случаю зависимости решения от параметров, содержащихся в правой части уравнения (1.34). Действительно, полагая z = у (х, х0, у0)—у0>
t = x—х0, преобразуем уравнение |^- = /(х, у) с начальным усло-dz
виєм у(х0) = у0 в — = /(/-4-х0, z-4-y0), 2:(0) = 0, к которому уже можно применить теорему о непрерывной зависимости решения от параметров х0 и у0, если функция / непрерывна и удовлетворяет условию Липшица.
Аналогичные теоремы теми же методами могут быть доказаны для систем уравнений.
Заметим, что непрерывная зависимость решения
у(х, х0, у0), х0<х<*
Рис. 1.18.
(или b <^ X <; х0), от начальных значений х0 и V0 означает, что для любого є > 0 можно подобрать o(e, Ь) > 0 такое, что из неравенств
U0 — X01 < o (є, b) и I у0 — у01 < o (є, b)
следует неравенство
IУ U, х0, у0) — у (х, х0, у0) I < є
(1.36)
при х0<х<? (рис. 1.18).
С возрастанием b число o(e, Ь), вообще говоря, уменьшается и при Ь->оо может стремиться к нулю. Поэтому далеко не всегда удается подобрать такое число о(є) > 0, при котором неравенство (1.36) удовлетворялось бы для всех X > х0, т. е. не всегда решения, близкие по начальным значениям, остаются близкими при сколь угодно больших значениях аргумента.
Решение, которое мало изменяется при произвольном, но достаточно малом изменении начальных значений для сколь угодно больших значений аргумента, называется устойчивым. Подробнее об устойчивых решениях см. гл. 4.
Теорема 1.3 (об аналитической зависимости решения от параметра, теорема Пуанкаре). Решение x(t, Li) дифференциального уравнения X = /(/, х, (і), удовлетворяющее условию X(Z0) = х0, аналитически зависит от параметра ц в окрестности значения Li = Li0, если функция f в заданной области изменения t и X и в некоторой окрестности точки (X0 непрерывна по t и аналитически зависит от (х и х.
