Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Дальнейшее доказательство теоремы разобьем на три этапа:
1) Последовательность у = у„(х) равномерно сходится.
2) Функция у(х) = Hm уп(х) является решением интеграль-
на OO
ного уравнения (1.24).
3) Решение у{х) уравнения (1.24) единственно. Доказательство 1). По определению ломаной Эйлера
y'n(x) = f(xk, yk) при xft<x<xA + 1, k = О, 1.....п — 1
(в угловой точке xk взята правая производная), или
у/ (X) = / (х, уп (х)) -f [/ (X,, yk) - / (х, уп (X))] (1.25) обозначим
f(xk, yk) — f(x, у„ (X)) = Т)„ (х). В силу равномерной непрерывности функции /(х, у) в О получим
h„(*) 1 = 1/(**. Уя(*))1<е„ (1-26)
при п > Л/ (е„), где еЛ->0 при я->со, так как |х —xft|^/z„, а I У* — У„ (х) |< MZzn и An= —О при я->оо.
Интегрируя (1.25) по X в пределах от X0 до х и учитывая, что Ул(*о) = Уо- получим
X X
Уп(х) = Уо+ j fit. У n(f)) dt+ fy)n(t)dt. (1.27)
Здесь п может принимать любое целое положительное значение, следовательно, при целом т > О
X X
Уп+т(х) = у0+ f f(t, yn+m(t))dt+ fy]n+m(t)dt. (1.28)
X} Xi
44 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [ГЛ. I
откуда
max 1 уя+д(X) - у„(х) | < (8"+"l+ff" < е
для любого ? > 0 при достаточно большом га > JV1 (є). Итак,
max \у„ + т(х)—уп(х)\< г
ко < X < X0+ /У
при га > Л/] (е), т. е. последовательность непрерывных функций уя (х) равномерно сходится при X0 <^ х X0 ¦+ Я:
у„(х) z$y(x),
где у (х) — непрерывная функция.
Доказательство 2). Перейдем в уравнении (1.27) к пределу при я—>оо:
л; X
Iimyn(x) = y0-4- Hm Г / (х, уп (х)) dx -f lim fr)„(x)dx
Вычитая из (1.28) почленно (1.27) и взяв модуль разности, получим
X
I Уп+т (X) - уа (X) I = J [/ (t, Уп+т (t))-f(t, у„ (/)] dl +
X X
¦+ / v\n+m(t)dt - J y\n (t) dt <
x
< j\f(t. yn+m(t))-f(t. yn (0)1 dt+-
Xo
k X
+ /іля+га(0|л + $\t\„m\dt
X3 ' C0
при X0 ^ X ^ x0 -f- Я или, принимая во внимание (1.26) и условие Липшица:
.с
I)W (Jf) - Уп (X) |< Л/ f I yB+m (0 — уп (t) IЛ + (еЛ+т + ея) • Я.
Следовательно,
max \У«+т(х) — уп(х)\4
X0 < X к X0 + h
X
< N max J) y„+ffl (0 - у„ (/) | dt + (ея f m + е„) Я,
S 6] ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 45
У(X) = Уо + jV(x. y(x))dx.
Итак, у(х) удовлетворяет уравнению (1.24).
Доказательство 3). Допустим существование двух несовпадающих решений ух (х) и у2 (х) уравнения (24), следовательно,
max |Уі(х)~ у2(х)| ф 0.
X0 <х <х„+Я
Вычитая почленно из тождества
X
Уі(х)==у0Н- f /(*• Уі(х))с?х
х,
тождество
X
У2(х) = УоН-//(х. y2(x))dx,
*0
получим
X
Ух (X) — у2 (•*) = /1/ (*• Уі (*))—/ (•*• У2 (х))] rfx.
ИЛИ
X к
у (X) = J)0H- ''m Г/(*. yn(x))dx~\- lim fr)n(x)dx. (1.29)
л->со J л->оо ^
X0 Xr1
В силу равномерной сходимости уп(х) к у(х) и равномерной непрерывности функции /(х, у) в D последовательность /(х, yn(x))z?
Zt/(x, у(х)). Действительно,
|/(х, у(х)) — /(х, у„(*))1<е,
где є > 0, если |у(х) — у„(х)| < б(є), но \у (х)— у„(х)| < 6(El если га >/V1(O (є)) для всех х из отрезка х0 ^ х х0-\- Н.
Итак, |/(х, у(х)) — /(х, у„ (х))| < є при п > /V1(O(S)), где M1 не зависит от х.
В силу равномерной сходимости последовательности f (х, уп(х))
к /(х, у(х)) в (1.29) возможен переход к пределу под знаком интеграла. Принимая, кроме того, во внимание, что |Лл(є)|<єл. где гп->0 при п—>оо, окончательно в (1.29) получим
46
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[ГЛ. I
Следовательно, .
max Iy1(Jf)— 3V2Wl
Jfo <х < Xo + tf
max
X0 < X < Xo + //
f l/(x, y1(x)) — f(x. y2(x))]dx
<
max
X1 <x<x0+H
j |/(x, yx(x)) — f(x, y2(.x))\d>
Пользуясь условием Липшица, будем иметь
max Iy1(Jf)—У2(х)| <.Л/ шах
X)<x<.x0+fl ' х0<х<х,+ //
J ІУі (X) —у2 (Jf)I dx
<
^iV max Iy1(X)—y2(x)| max
x0<x<x, +h x-,<x«Cx, + //
f
dx
= NH max ІУі (x) — y2 (x)|.
Xo < X <x,+ H
Полученное неравенство
max Iy1 (x) — y2 (jf)| < NH max \yx (x) — y2 (x)| (1.30)
Xo<X<X0 + H x0<x<x0+.H
противоречиво, если max Iy1(X)—y2 (x)| 0, так как по усло-
X0 < X < X0-f /У
вию теоремы Я <-др, а из (1.30) следует, что NH=I. Противоречие снимается лишь при
max |Уі(х) —у2(х)| ==0,
Xo <х<х0 + /У
т. е. если ^1(X)=Hy2(X) при X0 <^ X ^ X0 -f Н.
Замечание 1. Существование решения уравнения (1.22) можно было бы доказать иным методом лишь в предположении непрерывности функций /(х, у) (без условия Липшица), однако одной непрерывности функции /(х, у) недостаточно для доказательства единственности решения.
Замечание 2. Существование и единственность решения у=у(х) доказаны лишь на отрезке X0 — H <^ х ^ X0 -f Н, однако, взяв точку (х0+ Я, у(х0-4-H)) за начальную, можно, повторив рассуждение, продолжить решение еще на отрезок длины H1, если, конечно, в окрестности новой начальной точки выполнены условия теоремы существования и единственности решения. Продолжая этот процесс
