Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
0/8? In 1/8);
г) первого витка архимедовой спирали г = шр:
5S
д) окружности г = 2а sin ф. _
3. Докажите, что длина эллипса х = У 2 sin t, у = cos t равна длине одной волны синусоиды у = sin X.
4. Вычислите объем:
а) тела, образованного вращением фигуры, ограниченной полукубической параболой у2 = х3, осью Ox и прямой х = 1, вокруг оси Ох\
б) усеченного кругового конуса с радиусами оснований R и г (г < R) и высотой /г,
в) тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной параболами у = х2 и у = Ух\
г) тела, ограниченного поверхностью, образованной вращением
кривой у = вокруг ее асимптоты.
5. Вычислите площадь поверхности:
а) образованной вращением вокруг оси Ox тангенсоиды у = tg х от X = 0 до X = —;
4
б) шара радиуса г;
в) образованной вращением вокруг оси Ox трактрисы х =з
/ . 1 + cos i\ . ,
= а\ — cost + In—¦- , у = asmt.
[ sin ^ J
§ 16. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА I. Основные сведения из теории
1°. Закончите определения:
1. Дифференциальным уравнением называется соотношение, в которое входят независимая переменная, неизвестная функция и ... .
2. Наивысший порядок входящих в дифференциальное уравнение производных или дифференциалов искомой функции называется его ... .
3. Дифференциальное уравнение называется уравнением первого порядка, если в него входят... . Уравнение первого порядка всегда можно представить в виде F (...) = 0.
2°. Подставляя функцию у = 2 sin х и ее производную в дифференциальное уравнение у' tg X = у, докажите, что она служит решением этого уравнения.
Доказательство.
1. Найдем производную функции у = 2 sin х: ... .
2. Подставим эту функцию и ее производную в левую и правую части данного уравнения: у' tg х = у = 2 sin л:.
3. Получим тождество: ... . 3°. Закончите определения:
1. Функция f (х) называется решением дифференциального уравнения первого порядка, если ... .
59
2. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется... .
3. Дифференциальное уравнение вида Z1 (х) /2 (у) dx + + Si (х) §2 (у) dy = 0 называется ... .
4. Дифференциальное уравнение, которое можно представить в
виде у' = f (^— j, называется ... .
5. Линейным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение, которое представимо в виде ... .
II. Примеры и упражнения
1. Докажите, что при любом значении С функция у = У&* + С служит решением уравнения уу' — е2х = 0. Подберите число С так, чтобы решение удовлетворяло начальному условию у I = 2.
I х=0
2. Составьте дифференциальное уравнение семейства окружностей (а — х)2 + у2 = 1.
Указание. Продифференцируйте обе части данного уравнения и исключите параметр а.
3. Какие из нижеприведенных уравнений являются уравнениями: 1) первого порядка; 2) второго порядка:
а) (х — 1)у' = у2; б) у' = 2ху + хъ\ в) у = xe*'\ г) tg х sin2y dx+ + cos2 X ctg у dy = 0; д) у" = х\ е) xdy — ydx =Ух2 + уЧх\ ж) у' = = е2х - у; з) уу" + (y')2 = 1; и) у' = ^ + 8у; к) х2 dy - (2ху +
ІХ + Dy
+ 3) dx= 0; л) х2у' = ху + (х2 + у2) arctg ^; м) у' tg х = у.
X
4. Какие из уравнений, приведенных в примере 3, являются: 1) уравнениями с разделяющимися переменными; 2) однородными уравнениями; 3) линейными уравнениями (первого порядка)?
5. Определите, однородно ли уравнение (у — x)dx+ (х + 2y)dy=
= 0, не приводя его к виду у' =
Указание. Для того чтобы определить, однородно ли уравнение вида P (х, у) dx + Q (х, у) dy = 0, не обязательно приводить его
к виду у' = f Можно воспользоваться следующим легко выводимым правилом: если при умножении обоих аргументов функций P (ху у) и Q (я, у) на произвольное число t вид уравнения не изменится, то оно однородно. Обычно такую проверку делают устно. Например, умножив на t аргументы л: и у функций у — х и х + 2у, получим: (ty — tx) dx + (tx + 2ty) dy = 0 или (y—x) dx+(x + 2y) dy= = 0. Уравнение не изменилось, следовательно, оно однородно.
6. Проверьте, однородны ли уравнения:
а) (х + у)dx + (у — х)dy = 0; б) ydx + (х — у2)dy=0; в) sin xdx+ + у dy = 0.
60
7. Проинтегрируйте уравнение cos х dx= в котором переменные разделены.
8. Решите уравнение Yy2 + 1 dx—х2у dy = 0 с разделяющимися переменными. Найдите частное решение, удовлетворяющее начальному условию у\х=1 = ]/3.
9. Частица падает в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату ее скорости. Докажите, что уравнение движения
частицы будет иметь следующий вид: — = g — kv2, где k — по-
dt
стоянная, g — ускорение свободного падения. Проинтегрируйте это уравнение.
Доказательство.
1. По второму закону Ньютона та = F, где т — масса частицы, а — ее ускорение в момент времени t, a F — сумма сил, действующих в этот момент на частицу.
2. Ускорение а = ... .
3. Частица движется под действием своего веса и сила сопротивления направлена в сторону, противоположную смещению. Следовательно, F = P- /сопр; P = ...,/ сопр = ... .
4. Уравнение движения частицы: .
