Геометрия: 7 кл.: Подсказки на каждый день. - Едуш О.Ю.
ISBN 5-691-00690-8
Скачать (прямая ссылка):
в) все углы разные.
5. В равнобедренном треугольнике из вершин основания проведены медианы. Значит, они
а) различной длины;
б) равны;
в) совпадают с высотами.
155.В равнобедренном треугольнике одна из сторон равна 15 см, а. другая —8,5 см. Найди периметр этого треугольника.
156. В равнобедренном треугольнике основание в 1,5 раза больше боковой стороны, а периметр равен 70 см. Найди стороны треугольника.
157. В равнобедренном треугольнике боковая сторона на 12 см больше основания, а периметр равен 32 см. Найди длины всех сторон треугольника.
§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
83
Задачка для любознательных
Какое наибольшее и какое наименьшее может быть основание равнобедренного треугольника с периметром 100 см, если стороны должны иметь длины кратные 5?
Н. Грицаенко
758. Угол, вертикальный углу при основании равнобедренного треугольника, равен 43°. Найди углы при основании равнобедренного треугольника.
759. Угол, смежный с углом при вершине равнобедренного треугольника, равен 32°. Найди угол между боковыми сторонами этого треугольника и угол между боковой стороной и биссектрисой угла при вершине.
160.В AMDK DK _L МЙГ, а точка С, лежащая на продолжении стороны МК, удалена от от точки К на расстояние, равное МК. Докажи, что A MDC — равнобедренный.
161 .В равнобедренном А ЛВС на боковых сторонах АВ и СВ взяты точки D и М соответственно так, что BD = ВМ. Отрезки CD и АМ пересеклись в точке F. Докажи, что A AFC — равнобедренный.
762. В равнобедренном A CDF на основании CF отложены точки А и В так, что СА = FB. Докажи, что Z ABD = Z BAD.
763. Докажи, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
764. Дан равносторонний A ABC. На его сторонах АВ, ВС и АС отложены соответственно равные отрезки ААр ВВ]У ССГ Докажи, что AAjBjCj — равносторонний.
84
П. Треугольники
165.* Найди ошибку в решении следующей задачи.
Дан равнобедренный треугольник с основанием ВС. На луче, исходящем из вершины А и пересекающем основание ВС, отмечена такая точка D, для которой Z АВО = Z АСО. Равноудалена ли точка О от точек В и С?
Так как Д ABC — равнобедренный с основанием ВС, то Z ABC = = Z АСВ. А по условию Z А BD = ZACD. Значит, Z DBC = Z DCB (каждый из этих углов равен разности соответственно равных углов). Получается, что у треугольника DCB углы при вершинах В и С равны. По теореме этот треугольник равнобедренный. Поэтому BD = CD, то есть точка А находится на одинаковом расстоянии от точек В и С.
В. Г/сев, А. Медяник
166.*Найди ошибку в доказательстве.
Любой треугольник равнобедренный. Доказательство.
А С
Пусть ABC — данный треугольник. Отметим на стороне ВС такую точку А чтобы BD = DC и AD 1 ВС. Тогда AADB = A A DC, это значит, что AB = АС, то есть A ABC — равнобедренный.
В. Гусев, А. Медяник
167. Докажи, что в равнобедренном треугольнике
а) биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают;
§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
85
б) биссектрисы, медианы и высоты, проведенные из вершин основания, равны;
в) пересекаются в одной точке все его биссектрисы; все его медианы; все его высоты (продолжения высот).
Решение. п
?>
/ 0
в,
с
Докажем утверждение о биссектрисах.
Пусть в Д ABC равны стороны AB и ВС, АА} — биссектриса Z А, BBJ — биссектриса Z В. Пусть эти биссектрисы пересекаются в точке О. Докажем, что биссектриса Z С тоже пройдёт через точку О. Здесь можно пойти разными путями:
1) Соединить точки О и С и доказать, что СО — биссектриса Z С;
2) Провести биссектрису Z С, предположить, что она пересечет ВВ1 в какой-то точке Ор отличной от точки О, и получить противоречие.
Возможны и другие способы решения.
Попробуем пойти первым путем. Обозначим для краткости Z ОСВ = Z 1, Z ОСА; = Z 2. Итак, надо доказать, что Z 1 = Z 2. Для доказательства равенства углов (а также отрезков) первая идея — найти такие равные треугольники, где эти элементы являются соответственными. Здесь напрашивается рассмотрение А ОВ}С и А ОА}С. Но их равенство возможно только в случае равностороннего A ABC. (Почему? Попытайся обосновать.) Если сразу не получится, то попробуем порассуждать. А ВОС = А BOA (?). Но тогда Z ВАО = Z2nOA = OC. Так как AAj — биссектриса Z А, то Z ВАО = Z О АС. Затем видим из равнобедренного А А ОС, что Z О АС = Z 1. В результате получается, что угол 1 равен углу 2.
Попробуй теперь сам решить задачи о медианах и высотах.
А. Александров, А Вернер, В. Рыжик
86
II. Треугольники
Соедини стрелками чертежи с их краткими описаниями.
<| Математическая переменка
с В 1 г А АМ — медиана
( ВО — биссектриса угла В
в 4
с в СР — высота
§ 3. ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
В этом параграфе мы наконец познакомимся с остальными признаками равенства треугольников.
Они тоже были известны ещё с древности.
Из истории геометрии
По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство теоремы о равенстве двух треугольников, имеющих равную сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).
