Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
з
принимают равные значения.
Часть 3
Для записи ответов на задания СЗ—С5 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.
СЗ I Найдите все значения параметра х > 1, при каждом из которых наибольшее из двух чисел
a = log3x + 91Og^ -бий = log^eix2)
больше 3.
В шар радиусом |/2!Г вписана правильная треугольная призма ABCA1BxC1. Прямая AC1 образует с плоскостью BCC1 угол 45°. Найдите объем призмы.
С5 I Найдите все значения параметра р, при каждом из которых число различных корней уравнения
(7р + 3)* + 35р-2 , , з (1ч
равно числу различных корней уравнения
{р + 3)х2 + 2х(р + 9) + 27 = 0. (2)
253
Ответы к заданиям тренировочного варианта № 1
Ответы к заданиям с выбором ответа
Номер задания Al А2 A3 A4 А5 А6 А7 А8 А9 AlO
Номер ответа 1 4 1 2 3 4 2 2 4 2
Ответы к заданиям с кратким ответом
Номер задания Bl В2 ВЗ В4 В5 В6 В7 В8 В9 BIO BIl
Ответ 3,5 -2 3,44 4 2 -2 7 34 25 60 24
Ответы к заданиям с развернутым ответом
Номер задания Cl С2 СЗ С4 С5
Ответ -0,8 1 < X < 81, X > 729 72уТ -3; 7; 9
Решения заданий с развернутым ответом
ЗАДАНИЕ С1
8х
Найдите наибольшее значение функции f(x) = + ^ при
I* +5,51 < 2,5.
Решение:
1) I* +5,51 < 2,5 <=> -2,5 < X + 5,5 < 2,5 <=> -8 < х < -3.
2) у'до = 8(х2 + 16)-2х'8х _ g 16-х2
(х2 + 16)2 (х2 + 16)2 '
f\x) = 0 при X = 4, при X = -4. 4 ?[-8-,-3].
/("8) = = "0A /("4) = "I = /("3) = "If = -°'96-Наибольшее значение функции г/ = f(x) на отрезке [-8; -3] равно -0,8.
Ответ: -0,8.
254
ЗАДАНИЕ С2
Найдите все значения х, при каждом из которых выражения
Зх2 log3 (2 + Зх) - 6xlogJ_i/2 + 3x и Зх2 + 2х
з"
принимают равные значения. Решение:
1) Из условия задания следует
Зх2 log3 (2 + Зх) - 6x\og j т/2 + Зх = Зх2 + 2х.
"з
2) Решим составленное уравнение:
Зх2 log3 (2 + Зх) - 6xlog! |/2 + Зх = Зх2 + 2х *
з"
<=* Зх2 log3 (2 + Зх) + 2xlog3 (2 + Зх) = Зх2 + 2х <=> (Зх2 + 2х) (log3 (2 + Зх) - 1) = О <=>
J Зх2 + 2х = О, j 2 + Зх > О,
log3 (2+ Зх) = 1
X=-
X > -TT
* = 3
1_ 3'
X = О,
_ 1_ X - 3.
О т в е т: 0; у.
ЗАДАНИЕ СЗ
Найдите все значения параметра х > 1, при каждом из которых наибольшее из двух чисел a = log3x + 91ogx9 - 6 и і = log^eix2) больше 3.
Решение:
Так как х > 1, то log3x > 0.
1) а > 3 *=> log3x + 91Og^ - 6 > 3 <==>
255
(log3x-3). (log3x-6) > 0 <=>
log3x > 6, log3x < З
2) b > 3 <=> log^lx2) > 3 «
0 < X < 1, 81х2 < х3,
X > 1,
81х2 > X3
х>3\
О < X < 27.
1 < x< 81.
3) Наибольшее из чисел аиЬ больше 3 тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них больше 3, т. е. когда
а > 3, Ъ > 3
0 < X < 27, X > 729,
1 < х< 81.
С учетом условия X > 1 получаем ответ. Ответ: 1 < X < 81, X > 729.
ЗАДАНИЕ С4
В шар радиусом "/221 вписана правильная треугольная призма ABCA1BxCx. Прямая ACx образует с плоскостью BCCx угол 45°. Найдите объем призмы.
Решение:
1) Пусть Dx — середина ребра A1Bx. Так как призма правильная, то C1D1JlA1S1 и C1D1J-DD1, тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскостиBxDxLACCx. Значит, ZCxADx — угол между прямой CxA и плоскостью ABBx, т. е. ZCxADx = 45°.
256
2) Пусть M и M1 — центры оснований призмы, тогда AM = BM = CM и AxM1 = B1M1 = C1M1. Так как призма правильная, то MM1LABC Если точка О лежит на прямой MM1, то по свойству наклонных и проекций OA = 05 = ОС и OA1 = OB1 = OC1. Пусть точка О — середина отрезка MM1, тогда прямоугольные треугольники ОМА и OM1A1 равны по двум катетам. Значит, OA = OA1. Аналогично OB = OB1 и ОС = OC1. Следовательно, точка О равноудалена от всех вершин призмы ABCA1B1C11 т. е. является центром
описанного около нее шара. Радиус шара равен -/2?, т. е. OA = "/221.
3) Если AC = а, то C1D1 = а^'. Треугольник C1D1A прямоугольный, и ZC1AD1 = 45°. Значит, AC1 = C1D1Y? = и
CC1 = YAd1-AC2' = ^^-а2 = -2=.
Далее, M1A1 = Ic1D1 = OM1 = -TrCC1 = а . Поэтому из o уЗ 1 2у2
2 2
прямоугольного треугольника OM1A1 имеем + = 22, а2 = 48,
о о
а = 4-|/3\
257
Найдем объем призмы: V = S^bc'CCu но $авс = ° ^ — 12"/?, CC1 = = 2 Уб1. Отсюда V = 72 У?. Ответ: 72У?.
ЗАДАНИЕ С5
Найдите все значения параметра р, при каждом из которых число различных корней уравнения
(7р + 3)х + 35р-2 = 9 , з (1ч
х + 5 ^ ^ '
равно числу различных корней уравнения
(р + 3)х2 + 2х(р + 9) + 27 = 0. (2)
Решение:
1) При X Ф —5 уравнение (1) равносильно уравнениям
Зх - 2 + 7рх + 35р _ 2 о Зх-2 + 7р(х + 5) _ 2 о х + 5 "Р + х+5 "Р
Зх — 2
2) Графиком дробно-линейной функции г/ = ^ + 5 является гипербола.
Для каждого числа a Ф 3 уравнение 3^+ = а имеет единственный корень X = а ' Поэтому Е(у) = (-оо; 3) U (3; +оо) и каждое
свое значение функция принимает один раз. Если р2 - Ip + 3 = 3, т.е. если р = 0 или р = 7, то уравнение (1) не имеет корней. При каждом из остальных р уравнение (1) имеет единственный корень.
3) Если р + 3 = 0, то р = — 3 и уравнение (2) — линейное:
9
12х + 27 = 0. У него один корень х = ——. Поэтому р = — 3 удовлетворяет условию задачи.
4) При р Ф -3 уравнение (2) — квадратное. Найдем его дискри-
