Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
Тетраэдр и параллелепипед. Пусть ABCD тетраэдр. Его ребра AB и CD принадлежат скрещивающимся прямым. Поэтому существует единственная пара параллельных плоскостей, содержащих порознь прямые AB и CD. Аналогично, рассмотрим пары параллельных плоскостей, содержащих порознь пары скрещивающихся AC; BD и AD\ ВС. Изобразив эти три пары соответственно параллельных плоскостей, получим параллелепипед, описанный около тетраэдра ABCD. Этот описанный параллелепипед иногда помогает решать сложные задачи, связанные с нахождением
236
расстояния между скрещивающимися прямыми или объема тетраэдра. Например, если в тетраэдре скрещивающиеся ребра попарно равны, и равны числам а\ Ь\ с, то описанный параллелепипед является прямоугольным параллелепипедом, диагонали граней которого равны а; Ь; с. Объем такого параллелепипеда в б раз больше объема вписанного тетраэдра. Вычисляя длины ребер этого параллелепипеда, полу-
чим числа
/а2 + Ь2_с2 ' /Ь2 + С2_а2 • /с2 + а2_Ь2 '
у-2-; у -2-; у-2- Следовательно, объем тетраэдра с попарно равными скрещивающимися ребрами равен
Ъ2 - с2) (b2 + с2 - а2) (Ь2 + с2 - а2)
Если же все ребра тетраэдра равны между собой, то тетраэдр называется правильным, а его описанный параллелепипед — куб, диагональ грани которого равна ребру правильного тетраэдра. Поэтому
объем правильного тетраэдра равен -g-^-^j =
Этот же ре-
зультат получается из предыдущей формулы при а = Ь = с.
Треугольная призма и пирамида.
Пусть ABCA1B1C1 — треугольная призма. Плоскость A1BC разделяет ее на две пирамиды: треугольную A1ABC и четырехугольную A1BCC1B1. В свою очередь эта четырехугольная пирамида A1BCC1B1 плоскостью A1BC1 разделена на две треугольные пирамиды A1BC1JS1 и A1BCC1. Полезно понимать, что все выделенные нами три пирамиды имеют равные объемы. Поэтому вычисление объема, например, пирамиды A1BCC1 можно заменить вычислением объема пирамиды A1ABC
В задачах С4, предложенных для решения в 2007 году использовалась аналогичная идея: для того чтобы вычислить объем пирамиды можно было заменить эту пирамиду другой, ей равновеликой.
Рассмотрим решение одной из таких задач.
237
M
Пример 13. Ребра AB и AD основания ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 9 и 4. На боковых ребрах AA1 и BB11 равных 11, лежат точки Ми P соответственно так, что AMiMA1 = 3:4; B1PiPB = 8:3. Найдите объем пирамиды с вершиной в точке P1 основанием которой является сечение данного параллелепипеда плоскостью BMD1.
Решение. 1) По свойству параллельных плоскостей, плоскость BMD1 пересекает грани BB1C1C и DD1C1C данного параллелепипеда по отрезкам BM1 и D1M1 соответственно параллельным отрезкам D1M и BM1 где точка M1 лежит на ребре CC11 так как прямоугольные треугольники CBM1 и A1D1M равны по катету и острому углу. Следовательно, сечение BMD1M1 — параллелограмм, который является основанием пирамиды PBMD1M1.
2) Диагональ BD1 делит параллелограмм BMD1M1 на два равных треугольника BMD1 и BM1D1. Поэтому объемы пирамид PBMD1 и PBM1D11 имеющих общую вершину P1 равны. Следовательно, искомый объем У пирамиды PBMD1M1 равен 2VPBMD .
3) Примем треугольник PBM за основание пирамиды PBMD1.
Тогда ее объем У найдем по формуле V = jh-SPBMl где h — высота
пирамиды, опущенная из вершины D11 SPBM — площадь треугольника РВМ. Ребро A1D1 перпендикулярно плоскости ABB11 и, значит, перпендикулярно плоскости РВМ. Поэтому A1D1 — высота пирамиды PBMD11 опущенная из вершины D11 то есть A1D1 = h = 4.
4) Высота треугольника PBM1 опущенная из вершины M1 равна длине ребра AB. Основание PB треугольника PBM вычислим из отно-
шения B1PiPB = 8:3. Имеем
B1B ~РВ
ІІ 3
PB
3B1B о ^ —= 3. Зна-
чит, SPBM = J-AB-PB Ответ: 36.
27
. Следовательно, V = 36.
238
Решите самостоятельно
1. В треугольной призме ABCA1B1C1 с основанием ABC ребра AB, AC и AA1 попарно перпендикулярны и равны 2 м. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины ребер AB, AA1 и A1C1.
Указание. Данная призма является половиной куба. Достройте ее до куба, тогда искомое сечение — половина правильного шестиугольника.
2. Два противолежащих ребра правильного тетраэдра служат диаметрами оснований цилиндра. Найдите ребро тетраэдра, если объем цилиндра равен 32л м3.
3. Для правильного тетраэдра со стороной а:
а) найдите его объем;
б) найдите радиус вписанного шара;
в) найдите радиус описанного шара;
г) докажите, что центры описанного и вписанного шаров совпадают. Указание: сумма найденных в б) и в) радиусов равна высоте тетраэдра.
4. В правильный тетраэдр SABC с ребром 24 вписан шар. В трехгранный угол с вершиной в точке S вписан второй шар, который касается первого шара. Найдите объем второго шара.
5. Два касающихся шара радиуса 2 расположены внутри прямой призмы. Первый шар касается нижнего основания и всех боковых граней. Второй шар касается верхнего основания и всех боковых граней. Найдите объем призмы, если в ее основании лежит равнобедренный треугольник с тупым углом при вершине, синус которого равен 0,96.
6. В основании пирамиды SABCD лежит равнобедренная трапеция ABCD с боковой стороной AB, равной 4, и острым углом 60°. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды.
