Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
• Из всех параллелограммов, имеющих с данным треугольником общий угол и противоположная вершина каждого из которых лежит на противоположной стороне треугольника, наибольшую площадь имеет тот параллелограмм, стороны которого являются средними линиями данного треугольника. Площадь такого параллелограмма равна половине площади данного треугольника.
Аналогичные задачи можно выделить в курсе стереометрии.
• Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих заданный объем, наименьшую площадь полной поверхности имеет куб. И двойственная задача: из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих заданную площадь полной поверхности, наибольший объем имеет куб.
• Из всех цилиндров, имеющих заданный объем, наименьшую площадь полной поверхности имеет тот цилиндр, у которого осевое сечение — квадрат. И двойственная ей задача: из всех цилиндров, имеющих заданную площадь полной поверхности, наибольший объем имеет тот цилиндр, у которого осевое сечение — квадрат.
Рассмотрим решение первой из этих двух задач. Пусть ребра прямоугольного параллелепипеда равны соответственно х\ у; z. Тогда площадь Q его полной поверхности может быть вычислена по формуле Q = 2(ху + yz + xz), а объем V — по формуле V = xyz. Пусть объем параллелепипеда задан и равен V. Тогда, применяя неравенство о средних а + Ъ + с > 3 ijabc для трех положительных чисел а\ Ь\ с, получим
Q = 2(xy + yz + zx) > 2-3]/xy-yz-zx = 6 j/(xyz)2 = 6i/V. Причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда ху = yz = ZX1 что равносильно равенствам х = у = z. Полученный результат означает, что из прямоугольных параллелепипедов, имеющих заданный объем, наименьшую площадь полной поверхности имеет куб.
230
Рассмотрим задание С4 из вариантов ЕГЭ 2005 года.
Пример 10. Отрезок PN — диаметр сферы, PN = 4 ~]/3. Точки M1 L лежат на сфере так, что объем пирамиды PNML наибольший Найдите площадь треугольника TNK1 где Ти К — середины ребер PMи PL соответственно
Решение.
1) Пусть R — радиус сферы и О — ее
центр. Поскольку диаметр PN = 2 R = 4~]/Зу
то R = 2 Уъ. Точки MnL лежат на сфере,
поэтому OP = OL = ON = OM = 2 , и сечения сферы плоскостями PLN и PMN —
окружности радиуса R = 2 ^b1 описанные вокруг треугольников PLN и PMN Значит, ZPMN = ZPLN = 90°, как вписанные углы, опирающиеся на диаметр PN
2) Объем пирамиды PNML равен VPNML = -^Sp^-H, где SPNL —
площадь треугольника PLN1 a H — высота пирамиды, равная расстоянию от точки M до плоскости PLN Обозначим через h высоту треугольника PLN Поскольку точка M лежит на сфере, а плоскость PLN содержит центр сферы, то высота пирамиды H < R1 причем H = R1 если МО = PNL. Аналогично, поскольку точка L лежит на сфере, и h = R1 если LO LPN. Рассмотрим объем пирамиды
Vpnml = \'TPN h'H < = 4-
Таким образом, пирамида PNML имеет наибольший объем, если треугольники PLN и PMN — прямоугольные и равнобедренные.
3) Треугольники PLNhPMN- прямоугольные, равнобедренные и имеют общую гипотенузу. Значит, APLN = APMN и поэтому их медианы NT и NK равны. Треугольники LOP1 LOM1 POM равны по двум катетам Поэтому треугольник LMP — правильный со стороной
PL = OP = 2-|/б. Отрезок TK — средняя линия ALMP Отсюда
TK = 0,5LM = NK = NT= ]/NL2 + KL2 =
4) Треугольник TNK — равнобедренный и его высоту h из вершины N найдем по теореме Пифагора h = ]/ NK2 - (0,57X)2 = R "[/Т.
231
Искомую площадь треугольника TNK вычислим по формуле S = 0,5A-TiC = = 6. О т в е т: 6.
Обратим внимание читателя на то, что задача решена без применения понятий математического анализа, только основываясь на экстремальных свойствах заданных фигур. В данном случае для получения пирамиды наибольшего объема, исходя из формулы 1 1
VPNML = -^--^-PN-h-H для его вычисления, следует взять наибольшее возможное значения высоты H пирамиды и наибольшее значение высоты h треугольника, лежащего в основании пирамиды. Затем, и это важный момент решения задачи, нужно показать, что существует такая конфигурация, в которой эти наибольшие значения принимаются. В данном случае это пирамида PNML1 в которой грани PLN и PMN — равные равнобедренные и прямоугольные треугольники, высоты в каждом из которых равны радиусу данной сферы. Рассмотрим еще одну задачу из вариантов ЕГЭ.
Пример 11. Дана сфера радиусом 10. Сечением этой сферы плоскостью является окружность с диаметром AB. Плоскость сечения удалена от центра сферы на расстояние 8. Точка D выбрана на сфере, а точка С — на окружности сечения так, что объем пирамиды ABCD наибольший. Найдите площадь грани ACD.
Решение.
1) Пусть AB = 2R — диаметр сечения, которое является окружностью с центром O1, а О — центр сферы. Треугольник ABC вписан в окружность с диаметром AB. Следовательно, ZACB = 90°, как вписанный угол, опирающийся на диаметр AB.
2) Расстояние от точки С до прямой AB1 равное высоте H1 треугольника ABC1 удовлетворяет неравенству H1 < г, причем H1 = t1 если CO1LAB Пусть Я — высота пирамиды DABC1 равная расстоянию от точки D до плоскости ABC. Тогда H < 18, DO1LABC
причем H = 18, если
232
3) Пирамида ABCD имеет объем VDABC = jSABC-H, где SABC — площадь треугольника ABC. Тогда
