Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
Номер задания 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Ответ 48 5 80 30 5 4 24,5 3 8 60 48 16 10 15 20 1
Номер задания 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
Ответ 4 60 4 327 2 20 32 90 4 24
Номер задания 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53
Ответ 108 2,5 24 32 15 18 24 24 91 80 44
Номер задания 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64
Ответ 5 4 62 5 224 35 27 8 12 36 30
Номер задания 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77
Ответ 4,8 144 54л 40 4 60 Збтг 327 2 20 32 90 30
Номер задания 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
Ответ 2 40 1 60 9 3 36 192 2 24 288 115,2 76,8
Номер задания 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Ответ 6 24 12 45 4 10 6 24 30
Номер задания 100 101 102 103 104 105 106 107 108
Ответ 60 90 28 45 60 1 0,2 0,75 0,25
Номер задания 109 110 111 112 ИЗ 114 115 116 117
Ответ 1,5 0,8 1,5 3 1,5 2 10 14 4
217
5.2. Задания с развернутым ответом
Сложность задач по геометрии зависит от многих факторов, в том числе от количества шагов (этапов) решения и от сложности геометрической фигуры. Причем зачастую на вступительных экзаменах предлагаются задачи, решение которых может быть довольно коротким, если удастся найти «золотой ключик» Таким «ключиком» может быть новый взгляд на фигуру (геометрическое тело), поворот фигуры на плоскости или в пространстве, выделение части фигуры или, наоборот, достраивание ее до какой-либо другой фигуры
Пример 1. Боковые ребра тетраэдра попарно перпендикулярны и равны 4 м, 5 м и 6 м. Найдите его объем.
Замечание. Для начала заметим, что школьники зачастую неправильно трактуют понятие тетраэдра. В геометрии тетраэдр — всего лишь многогранник, имеющий четыре грани (тпетра — четыре, эдр — грань), т. е. треугольная пирамида. Правильный тетраэдр — это особый вид тетраэдра, т. е. треугольной пирамиды, в которой все ребра равны между собой.
Решение. Итак, нам дана треугольная пирамида. Любая грань такой пирамиды может считаться основанием. «Поставим» пирамиду на боковую грань, то есть будем считать, например, основанием треугольник ABC с прямым углом А и катетами AB = 4миЛС=5м.
По условию задачи AKJ-AB и AKLAC Следовательно, AKJ-ABC (признак перпендикулярности прямой и плоскости), поэтому высота пирамиды KACB равна 6 м. Найдем объем пирамиды по формуле V = ^S0011H1 где площадь основания прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Таким образом, получаем:
V = ^AB-AC-AK или V= 1-4-5.6 = 20 (м3) о о
О т в е т: 20 м3.
Пример 2. Дан правильный тетраэдр SABC1 объем которого равен V. На ребрах SA и SB взяты их середины D и E1 а на ребре SC взята точка Этакая, что SFiFC =1:3. Найдите объем пятигранника DEFABC
218
Решение. Первый «ключик» в этой задаче состоит в том, чтобы найти объем дополнительного многогранника — треугольной пирамиды SDEF. По крайней мере, это более знакомое геометрическое тело. Прямой способ вычислений состоит в том, что, зная объем V правильного тетраэдра, можно найти его ребро, используя формулу
V = 12~#3- Затем, зная ребро, можно вычислить все стороны и высоту
пирамиды SDEF. После этого, найти объем и сравнить его с первоначальным объемом V. Это достаточно долгий путь, связанный с заметным количеством вычислений и, соответственно, с возможностью ошибиться. Приведем другой, более геометрический способ. Пусть G — середина ребра SC Тогда F—
середина отрезка SG и поэтому EF — средняя линия в треугольнике SBG. Аналогично, DF — средняя линия в треугольнике SAG и по условию DE — средняя линия в треугольнике SAB Значит, при гомотетии с центром S и коэффициентом 2 пирамида SDEF перейдет в пирамиду SABG7 т. е. эти пирамиды подобны с коэф-
фициентом 2. Следовательно, объем пирамиды SDEF в 8 раз меньше объема пирамиды SABG.
Но последний объем составляет половину всего объема V. Действительно, отрезок SG перпендикулярен отрезкам AG и BG1 так как они являются высотами в соответствующих гранях. Значит, прямая SC перпендикулярна плоскости ABG7 и поэтому при симметрии относительно этой плоскости пирамида SABG перейдет в пирамиду CABG. Поэтому их объемы равны, в сумме они составляют V и, значит, объем каждой из них равен половине V.
В итоге, V<>
¦> v sdef
— "g* Vsabg
= —• — V= jgV и поэтому
Vi
defabc
О т в е т: -тк V.
219
Пример 3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона квадрата ABCDy лежащего в основании, равна
уТ, а высота, опущенная на основание, равна 2. Найдите расстояние от точки А до плоскости SBC
Решение. Можно пробовать опустить перпендикуляр из точки А на плоскость боковой грани SBC и затем вычислить его длину (рис. 1). Но можно несколько повернуть пирамиду и заметить, что значительно удобнее вычислить это расстояние, как расстояние от середины E стороны AD до той же плоскости, (рис. 2). Действительно, точки А и E лежат на прямой ADy которая параллельна плоскости SBC Значит, расстояния от этих точек до этой плоскости равны между собой.
Итак, опустим высоту SH на основание пирамиды и проведем плоскость через эту высоту и точку Е. Эта плоскость пересечет пирамиду по треугольнику SEF1
