Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
° COSX '
sin2x = 2 sinx cosx, то
7 tgx +COS2X-I-3 sin 2х = 1 <=> <=> 7tgx +(cos2x-1) + 6sinxcosx = О <=>
<=> у sm* _ sin2 X + 6 sinx cosx = O <=> cosx
<=> I^L (7 - sinx cosx + 6cos2x) = O <=> cosx
*tgx = 0,
<==>
7 + 6cos2x- sinx cosx = 0.
Так как | sinx| < 1, | cosx| < 1, то sinx cosx < 1, a 7 + 6cos2x > 7. Поэтому уравнение 7 + 6cos2x- sinx cosx = 0 корней не имеет. Значит, tgx = 0 <=> X = кп, n€Z.
Ответ: X = тш, п Є Z.
В ЕГЭ-2004 впервые в части 3 появились системы уравнений. Общий подход в заданиях одного плана состоял в том, чтобы одно из уравнений системы быстро сводилось к линейному, а после подстановки во второе (логарифмическое) уравнение оно сводилось к простейшему уравнению стандартными преобразованиями. В заданиях несколько другого характера простейшая замена переменной сводит показательное уравнение системы к квадратному. Один из корней квадратного уравнения обращает в нуль знаменатель второго (дробно-линейного) уравнения. Оставшийся корень квадратного уравнения дает линейное выражение одной переменной через другую и после подстановки в дробно-линейное уравнение быстро находятся значения обеих переменных. Найденные в обоих случаях решения следовало или проверить прямой подстановкой в исходное уравнение (и тогда можно обойтись без выписывания ОДЗ и равносильностей), или же, наоборот, аккуратно следить за равносильностью при преобразованиях (и тогда обойтись без проверки подстановкой). Отметим, что первый подход непосредственно ведет к верному ответу и, что немаловажно на ЕГЭ, занимает меньше места при записи решения по сравнению со вторым подходом.
104
xy + X У-2
Пример 7. Решите систему уравнений х-3,
log4(x + 5) = 3- 0,51og2 36^f7"64.
Решение. Из первого уравнения выразим у через хг.
ху + х = ху-2х-3у + 6; Зх = 6 - Зу; у = 2 - х. Подставим во второе уравнение:
0,51og236*_~^;64 = 3 - 1Og4(X+ 5). По свойствам логарифмов 0,51og22 = log^z = log42. Значит,
1о§4—=— + bg4(x + 5) = 3;
1Og4(^f
5-х Звх - X3 — 64
(х +
5,)
-5-х
log4(x3-36x+64) = 3; х3-36х+64 = 64;
3;
х(х2 - 36) = 0.
Если X = —6, то не определен log4(x + 5). Если х = 0, то у = 2 и равен нулю знаменатель первого уравнения системы. Если х = 6, то у - -4. Проведем проверку подстановкой (при переходе от суммы логарифмов к логарифму произведения могла быть нарушена равносильность).
' -24 + 6
6"3' log4ll = 3-0,51og2
Г з = з,
36-6-6-64 -11
[log4ll = 3-(log464 -log4ll).
Оба равенства верны. Значит, (6; -4) — решение системы. О т в е т: (6; -4).
Как уже отмечалось, в ЕГЭ 2005—2008 по сравнению с ЕГЭ 2001— 2004 предыдущее алгебраическое задание Cl «раздвоилось»: его аттестационная, «школьная» составляющая перешла в задачи Cl и С2
105
части 2 вариантов КИМ, а технически более сложные моменты, носящие характер заданий вступительных вузовских экзаменов, проверяются теперь в задаче СЗ из части 3.
Задачи СЗ из ЕГЭ-2005 после подходящей подстановки t = t(a) сводились к решению квадратных неравенств относительно новой переменной L В зависимости от общего плана составления заданий и выбранной спецификации зависимость t = t(a) выбиралась либо показательной, либо логарифмической, либо степенной и т.п., но общая структура задания сохранялась. См. § 2.3, пример 4 и упражнения 12—14.
Задание С5 в ЕГЭ-2005 по формальным признакам являлось, как и обычно, задачей с параметром. Однако, параметр входил не только в условие задачи, но и в постановку вопроса самой задачи. Проиллюстрируем эту идею, сначала, на простом примере.
Пример 8. Найдите все значения параметра р, при каждом из которых уравнение
Т/4 - Зх =х + 2р(2-р) (*)
имеет ровно р корней. Решение.
После возведения в квадрат уравнение сводится к квадратному. Поэтому р Є {0; 1; 2}. Остается перебрать эти три случая. Если р — 0 или р = 2, то получаем уравнение
"|/4 — Зх = х\ 4 — Зх = X2; х2 + Зх — 4 = 0; X1 = 1, X2 = —4.
Корень X = -4 посторонний, т.к. X = "|/4 - Зх > 0. Корень х = 1 легко проверяется подстановкой.
Итак, если р = 0, то уравнение (*) имеет 1 = р + 1 корень, а если р = 2, то уравнение (*) имеет 1 = р - 1 корень. Значит, такие р не удовлетворяют условию задачи.
Если р = 1, то получаем уравнение
У4 - Зх = X + 2; 4 - Зх = х2 + 4х + 4; X2 + Ix = 0; X1 = 0, х2 = —7.
Корень X = -7 посторонний, т.к. X + 2 = У4 - Зх > 0. Корень х = 0 проверяется подстановкой. В этом случае уравнение (*) имеет 1=р корней.
Ответ: 1.
106
Для составления большого числа однотипных, но различных заданий подобного вида, очевидно, требуется более сложная конструкция и более сложная постановка вопроса, предполагающая использование как иррациональных, так и показательных, логарифмических, тригонометрических выражений и функций.
Пример 9. Даны два уравнения: log5 (х{р2 + 6)) = р + 5 - 2х и
3 х2(5р+ 1) + (4-Зр)* + 3 о *
X + — = ——--г---—туг---. Значение параметра р выбрано так,
X X \*$р +
2
что р Ф — -- и число различных корней первого уравнения равно сумме числа р - 3 и числа различных корней второго уравнения. Решите первое уравнение при всех значениях параметра, выбранных таким образом.
