Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
99
3.3. Задания высокого уровня сложности
Как и в блоке «Выражения и преобразования», мы приводим сначала примеры с решениями и комментариями, а затем приводим упражнения для самостоятельной работы.
В вариантах ЕГЭ 2002 и 2003 задание на решение уравнений стояло на первом месте в части 3. Сложность заданий в части 3 весьма существенно возрастает при увеличении номера задания. Это значит, что задания Cl на решение уравнений были заметно легче других задач части 3.
Пример 1. Решите уравнение 3*+13.4*+1.53*-7 = 25•54O11"'.
Решение. 1) Основания степеней в обеих частях уравнения разложим на простые сомножители:
4 = 22, 540 = 5 108 = 5 4 27 = 22-33-5.
2) По правилам действия со степенями:
3*+13.4*+1.53*-7 = 52(22.33.5)
2%х+2 да:+13#дЗ*-9 _ 222~2х 3ЗЗ-З* д11"*. 22* + 2 + 2лг-22 да:+ 13 + Здг-ЗЗ ^Зх-9+х-П _
(2-3.5)4"-20= 1; ЗО4""20 = 1.
3) Значит, ЗО4""20 = 30°. Из свойств показательной функции следует, что Ax -20 = 0, X = 5.
4) Так как все преобразования — равносильности, то найденное число — корень уравнения. Впрочем, нетрудно проверить его и подстановкой:
35 + із 45 + і 58 _ 25.5406;
318.46-56 = (4-33-5) = 5406.
О т в е т: 5.
Задачи такого типа отличаются от аналогичных задач, имеющихся практически во всех школьных учебниках лишь наличием трех, а не двух простых сомножителей. В работах учеников встречались весьма разнообразные способы оформления этого решения. Например, использование 4, а не 2 в разложении на множители. Или, можно не раскладывать правую часть, а группировать степени в левой части
100
и все приводить к основанию 540. Можно к единице приравнивать отношение правой части к левой, одни простые множители группировать в одной части, а другие — в другой и т.п. Интересен редко, но встречавшийся графический способ: левая часть возрастает, правая убывает и обе они определены на всей числовой прямой. Значит, есть не более одного корня, а его найти можно подбором.
Пример 2. Решите уравнение У49 + 9х|х + 4| - 2х = 7.
Решение. 1) Переносим вычитаемое в правую часть ]/49 + 9х\х + 4Г = 2х + 7. После возведения в квадрат получаем 9х|х +4| = 4х2 + 28х.
2) Для х = 0 подстановкой проверяем, что это — корень уравнения. При остальных х обе части делим на х и получаем 9|х + 4| = 4х+28.
3) При X < -4 отрицательна сумма 2х + 7 и поэтому равенство
У49 + 9х IX + 4 Г = 2х + 7 невозможно.
4) При х > -4 получаем 9х + 36 = 4х + 28. Значит,
8 2
X = -у > -4. При X > -4 сумма 49 + 9х|х + 4| = (2х + 7) , т. е.
подкоренное выражение положительно. Значит, найден еще один корень.
Ответ: —у; 0.
Многие выпускники начинали решение с отыскания ОДЗ уравнения. Однако в данном случае — это отдельная и довольно кропотливая работа. Здесь удобнее, переходя к уравнениям-следствиям, получить ответы и просто проверить их. Конечно же, многие ученики, как это часто бывает, делили на х и теряли при этом корень х = 0.
Пример 3. Решите уравнение
Решение. 1) Производим тождественные преобразования выражений под знаком логарифма и используем формулу k\ogax = loga(x*):
4Ц3+2ІТ5) = М2-^з)
+ 4.
101
2) Логарифмы группируем в левой части и используем формулы логарифма частного и произведения:
, /6х+18\4 , /2* +5 \3 .
^ЫтГ) Ытз) =4;
Ь^(^|)7 = 4; log664 + log6(^)7 = 4;
3) Избавляемся от логарифмов (потенцируем) и решаем дробно-линейное уравнение:
X + 3
о ;
2х + 5 х + Ъ
1;
2* +5 х + 3 = 2х+5; X = -2.
4) Т. к. при потенцировании получили уравнение-следствие, найденное число проверяем подстановкой:
4log6(3 + 2(J) + 5) = 4log66 = 4 = 31og6l + 4 = 31og6(2 - + 4.
Ответ: -2.
Пример 4. Решите уравнение j/э - = 51og2^2^-^ j.
Решение. 1) Так как х — основание логарифма, то х > 0, х Ф 1. При таких X определена и правая часть уравнения. Значит, равносильны такие преобразования частей уравнения = 28bg2x и
51og2(20'2.2°'4.x-0'4) = 5(0,6-0,4log2x) = 3-21og2x.
Получаем уравнение "|/9 - 281og2x = 3 - 21og2x, равносильное исходному при X > 0, X Ф 1.
102
2) Пусть t = log2x. Тогда t Ф 0 (т. к. х Ф 1) и
У9 - 28* = 3 - 2ґ;
9 - 28ґ = (3 - 2tf\ 9-28ґ = 9-12ґ + 4ґ2; At2 + 16ґ = О; t{ = 0; ?2 = -4.
Значит, ґ = log2x =-4, х = -^.
Ответ: -Т7Г. 16
Пример 5. Решите уравнение log25(34 - ЗЗх) • log4 _ Зх 5 = 1. Решение.
1) Уравнение имеет смысл при одновременном выполнении условий 34 - ЗЗх > 0; 4 - Зх > 0; 4 - Зх Ф 1.
2) По формулам log25a = log 2а = 0,51og5a = 1Og5Vo1 для а > О, и logA 5 = Для b > 0, ft ^ 1 получаем, что (при выполнении условий из 1)) данное уравнение равносильно уравнению
log51/34 - ЗЗх = log5 (4 - Зх).
Так как log5# = log52 <=> у = Z1 то j/34 - ЗЗх = 4 - Зх.
3) Так как 34 - ЗЗх >0и4-3х>0, то уравнение
1/34 - ЗЗх = 4 - Зх равносильно уравнениям
34 - ЗЗх = (4 - Зх)2; 34 - ЗЗх = 16 - 24х + 9х2; 9х2 + 9х- 18 = 0; х2 + х-2 = 0.
Поэтому X = -2 или X = 1.
4) Если X = -2, то 34 - ЗЗх > 0; 4 - Зх > 0; 4 - Зх * 1, а если X = 1, то4-Зх=1. Поэтому х = 1 не является корнем, а X = -2 является корнем уравнения.
Ответ: —2.
103
Пример 6. Решите уравнение 7 tgx + cos2 х + 3sin2x = 1. Решение. Так как tgx = -25? cos2 х - 1 = -sin2x,
